存在性创设，开放性应用——基于解析几何中的解答题-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■山东省济南市莱芜第一中学 刘 鹏 解析几何中的存在性问题,主要有点的 存在性、参数的存在性、图形的存在性等,是 每年高考中常见的题型之一,其涉及的知识 范围广、解题的方法灵活性大,故备受命题者 的青睐。解析几何中的存在性问题,可以通 过执果索因,假设结论成立,在这个假设下进 行推理、分析、计算,最终产生结论成立所需 的条件,此法要注意推理的可逆性。 一、点的存在性问题 例 1 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的离心率为 6 2 ,点A(6,4)在双曲线 C 上。 (1)求双曲线C 的方程。 (2)设过点B(1,0)的直线l与双曲线C 交于D,E 两点,试问:在x 轴上是否存在定 点P,使得PD→·PE→ 为常数? 若存在,求出 点P 的坐标及该常数的值;若不存在,请说 明理由。 分析:(1)根据题设条件,利用双曲线的 离心率、点A 在双曲线上及参数的关系,即 可求出对应参数a,b的值,从而求出双曲线 的方程;(2)通过设出存在符合条件的定点 P(t,0),结合直线l的方程的设置,并与双曲 线的方程联立,利用韦达定理及平面向量的 数量积公式加以转化,通过比较系数的关系, 进而得以确定点的存在性问题。 解:(1)因为双曲线C 的离心率为 6 2 ,所 以 c a 2 = a2+b2 a2 =1+ b2 a2 = 6 2 2 ,化简可得 a2=2b2。 将点A(6,4)代入 x2 2b2 -y 2 b2 =1,得 18 b2 - 16 b2 =1,解得b2=2。 所以双曲线C 的方程为 x2 4- y2 2=1 。 (2)由题意知,直线l的斜率存在,故可 设直线l的方程为y=k(x-1),D(x1,y1), E(x2,y2)。 联立方程组 y=k(x-1), x2 4- y2 2=1 , 消去y 并整 理得(1-2k2)x2+4k2x-2k2-4=0,由题意 知,1-2k2≠0且Δ>0,即k2< 2 3 且k2≠ 1 2 , 所以x1+x2=- 4k2 1-2k2 ,x1x2=- 2k2+4 1-2k2 。 设存在符合条件的定点P(t,0),则PD→ =(x1-t,y1),PE→=(x2-t,y2)。 所以 PD→·PE→=(x1-t)(x2-t)+ y1y2=(k2+1)x1x2-(t+k2)(x1+x2)+ t2+k2=(k2+1)- 2k2+4 1-2k2 -(t+k2)· - 4k2 1-2k2 + t2 + k2 = k2(-2t2+4t-5)+(t2-4) -2k2+1 。 因 为 PD→ · PE→ 为 常 数,所 以 -2t2+4t-5 -2 = t2-4 1 ,解得t= 13 4 ,此时该常 数的值为t2-4= 105 16 。 所以在 x 轴上存在点P 134 ,0 ,使得 PD→·PE→ 为常数,该常数为10516。 点评:解决此类解析几何中的点的存在 性问题,首先假设点存在并设符合条件的点 的坐标,进而在这个假设条件下进行推理论 证与数学运算,如果得到一个合情合理的推 理结果,就肯定假设,对问题作出正面回答; 如果得到一个矛盾的结果,就否定假设,对问 21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年4月 题作出反面回答。 二、参数的存在性问题 例 2 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0),F1,F2 分别是它的左焦点和右焦 点,A(-1,0)是其左顶点,且双曲线C 的离 心率为e=2。设过右焦点F2 的直线l与双 曲线C 的右支交于P,Q 两点,其中点P 位 于第一象限内。 (1)求双曲线C 的方程。 (2)若直线 AP,AQ 分别与直线x= 1 2 交于点 M,N,证明 MF2→·NF2→ 为定值。 (3)是否存在常数λ,使得∠AF2P= λ∠PAF2 恒成立? 若存在,求出λ 的值;若 不存在,请说明理由。 分析:(1)根据题设条件,先确定a的值, 并利用离心率公式,结合参数的关系求出对 应参数a,b 的值,从而求得双曲线的方程; (2)设出直线l的方程,通过联立直线与双曲 线方程,结合韦达定理,进而确定点 M、N 的 坐标,得以证明平面向量的数量积的值为定 值;(3)结合直线的斜率是否存在进行分类讨 论,易得斜率不存在时参数的存在性;而斜率 存在时,将角度问题转化为直线的斜率问题, 利用二倍角的正切公式加以转化,进而得以 确定参数的存在性。 解:(1)由题意知,a=1,由于e= c a=2 , 所以c=2。 由a2+b2=c2,可得b= 3。 所以双曲线C 的方程为x2-y 2 3=1 。 (2)由题意知,直线l的斜率不为0,则可 设直线l 的方程为x=ty+2,P(x1,