抛物线相关解答题的求解策略-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■湖南省郴州市第二中学 罗淑英 高考中解析几何解答题最核心考法是直 线与圆锥曲线问题(应用韦达定理求解),经 常综合考查弦长、面积、最值问题,有时还考 查定点定值和探索性问题,难度较大,重点考 查同学们的逻辑推理能力和数学运算能力。 下面以抛物线为载体探究高考中解析几何大 题的解题策略。 一、多曲线问题的综合应用 例 1 已知圆C:x2+y2=2x,动点P 在y 轴的右侧,点P 到y 轴的距离比它到圆 心C 的距离小1。 (1)求动点P 的轨迹E 的方程。 (2)过圆心C 作直线l,与轨迹E 和圆C 交于四个点,自上而下依次为 A,M,N,B。 若|AM|+|NB|=2|MN|,求|AB|及直线 l的方程。 解析:(1)因为点 P 在y 轴右侧,圆心 C(1,0),且点P 到直线x=-1的距离与到 圆心C(1,0)的距离相等,所以点 P 的轨迹 为以C(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的 抛物线,由抛物线定义知动点P 的轨迹E 的 方程为y2=4x。 (2)圆C 的标准方程为(x-1)2+y2= 图1 1,圆心C(1,0),半径r=1,如图 1,易知AB 为直线l与抛物线相 交的弦,MN 为圆C 的直径,所 以|MN|=2。 因为|AM|+|NB|=2|MN |=4,所以|AB|=|AM|+| MN|+|NB|=4+2=6。 由题意知,直线l的斜率不为0,又直线 l过点C(1,0),故可设直线l的方程为x= my+1。 设 A (x1,y1),B (x2,y2),联 立 x=my+1, y2=4x, 消去y 整理得x2-(2+4m2)x +1=0。 易知Δ>0,x1+x2=2+4m2,x1x2=1。 由焦点弦长公式可知 |AB|=x1+x2+ p=(2+4m2)+2=6,解得m=± 2 2 。 所以直线l的方程为x=± 2 2y+1 ,即 y=± 2(x-1)。 评注:求轨迹时应注意对圆锥曲线定义的 理解,在设直线的方程时,若直线的斜率可以 不存在但不为零,则可设直线的方程为x=my +n,从而避免讨论。在求弦长时应该分析是 否是焦点弦,如果是焦点弦直接应用焦点弦长 公式可简化运算(灵活选择消未知量)。在多 曲线问题中,要弄清楚直线与各曲线的关系。 二、导数在抛物线的最值问题中的应用 例 2 已知点E(1,-22)在抛物线 C:y2=2px(p>0)上,A,B 为抛物线C 上的 两个动点,AB 不垂直x 轴,F 为焦点,且满 足|AF|+|BF|=8。 (1)求p 的值,并证明:线段AB 的垂直 平分线过定点; 图2 (2)如图2,设(1)中的定 点为 M,当△AMB 的面积最 大时,求直线AB 的斜率k。 解析:(1)将点E(1,-22) 代入 抛 物 线 C 的 方 程y2= 2px,得p=4,所以抛物线 C 的方程为y2=8x。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由焦半径公式 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年4月 得|AF|+|BF|= x1+ p 2 + x2+p2 = (x1+x2)+p=8,所以x1+x2=4。 方法一:因为A,B 在抛物线C 上,所以 y21=8x1, ① y22=8x2。② ①-②并整理得 y1-y2 x1-x2 = 8 y1+y2 ,所以 kAB= y1-y2 x1-x2 = 8 y1+y2 。 又线段 AB 的中点坐标为 2, y1+y2 2 , 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为y= - y1+y2 8 (x-2)+ y1+y2 2 ,即y=- y1+y2 8 · (x-6)。 所以线段AB 的垂直平分线过定点(6,0)。 方法二:设直线AB 的方程为y=kx+ m,联立 y=kx+m, y2=8x, 消去y 整理得k2x2+ (2km-8)x+m2 =0,所 以 x1 +x2 = 8-2km k2 ,x1x2= m2 k2 。 所以x1+x2= 8-2km k2 =4,解得m= 4 k -2k。 由Δ=(2km-8)2-4k2m2=64-32km =64(k2-1)>0,得k2>1。 设线段 AB 的中点为(x0,y0),则x0= 2,y0=kx0+m=2k+m。 所以线段AB 的垂直平分线的方程为y =- 1 k (x-2)+2k+m,y=- 1 k (x-2)+ 4 k ,即y=- 1 k (x-6)。 所以 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 过 定 点 (6,0)。 (2)由(1)中的方法二知,x1x2= m2 k2 , x1+x2= 8-2km k2 =4,所以m= 4 k-2k 。 由 弦 长 公 式 知 | AB | = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] = (1+k2)16