例析双曲线的几何性质及其综合应用-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■湖南省郴州市第二中学 李晓彪 平面解析几何是中学数学的核心内容之 一,是考查考生学科素养的重要载体。高考 对解析几何的考查一般以课程学习情境与探 索创新情境为主,能力上主要考查考生的运 算求解能力和逻辑思维能力。从近三年的高 考数学来看,双曲线主要考查定义、方程、几 何性质(离心率)、直线与双曲线的位置关系, 以及与其他曲线的综合应用。本文通过例题 探究双曲线的几何性质及其综合应用。 一、双曲线的离心率与焦点三角形、特征 三角形的综合问题 例 1 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的右焦点为F,双曲线的一条渐近线 与圆O:x2+y2=a2 在第二象限的交点为 M,圆O 在点 M 处的切线与x 轴的交点为 N。若sin∠MNF= 7sin∠MFN,则双曲 线的离心率为 。 图1 解析:如图1,因为双曲线 的一条渐近线与圆O:x2+y2 =a2 在第二象限的交点为 M, 所以|OM|=a。因为圆O 在 点M 处的切线与x 轴的交点 为 N,所 以 MN ⊥OM。设 ∠MON=α,由kOM=- b a ,知tan α= b a ,所以 |MN|=|OM|·tan α=b,所 以|ON|= a2+b2=c。又在△MNF 中,sin∠MNF= 7sin∠MFN,由 正 弦 定 理 得|MF|= 7|MN|=7b。在△MOF 中,由余弦定理得 cos∠MOF = |OM|2+|OF|2-|MF|2 2|OM|·|OF| ,又 cos∠MOF=cos(π-∠MON)=-cos∠MON =- a c ,所以- a c= a2+c2-7b2 2ac ,整理得6c2 =10a2,所以e= 15 3 。 评注:双曲线中很多求基本量的问题可以 转化为双曲线的焦点三角形和特征三角形问 题,从而运用焦点三角形和特征三角形的几何 性质进行解决,其思路简洁,运算量小,若能再 进行合理转化,则往往会收到事半功倍的效果。 二、双曲线的定点定值问题 例 2 已知双曲线E:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的左右焦点分别为 F1(-3,0), F2(3,0),左顶点为 A,过点F2 且与x 轴垂 直的直线与双曲线E 交于C,D 两点,且 |CD|=|AF2|。 (1)求双曲线E 的方程; (2)过点F1 作斜率存在且不为0的直线 与双曲线E 于M,N 两点,点 M 关于x 轴的 对称点为Q,证明直线NQ 恒过定点。 解析:(1)易求得|CD|= 2b2 a ,|AF2|=a +c,所以 2b2 a =a+c 。又c=3,a2+b2=c2, 所以a=2,b= 5,所以双曲线E 的方程为 x2 4- y2 5=1 。 图2 (2)如图2,设 M(x1, y1),N(x2,y2),则 Q(x1, -y1),直线 NQ 的方程为 y= y2+y1 x2-x1 (x-x1)-y1。 令y=0,得x=y1· x2-x1 y2+y1 + x1 = y1x2-y1x1+x1y2+x1y1 y2+y1 = x1y2+x2y1 y2+y1 。 设直线 MN 的方程为x=my-3(m≠ 0),联 立 x=my-3, x2 4- y2 5=1 , 消 去 x 化 简 整 理 得 (5m2-4)y2-30my+25=0。因为过点F1 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年4月 的直线 MN 交双曲线E 于M,N 两点,所以 5m2-4≠0,即 m≠± 25 5 。由韦达定理得 y1+y2= 30m 5m2-4 ,y1y2= 25 5m2-4 。 所 以 x1y2 +x2y1 =my1y2 -3y2 + my1y2-3y1=2my1y2-3(y1+y2)。 所以 x1y2+x2y1 y1+y2 = 2my1y2-3(y1+y2) y1+y2 = 2my1y2 y1+y2 -3= 50m 5m2-4 30m 5m2-4 -3= 5 3-3=- 4 3 。 所以直线 NQ 恒过定点 - 4 3 ,0 ,且定 点在x 轴上。 评注:由于双曲线本身具有比较完美的 对称性,所以在探究定点问题时可以利用对 称性先判断定点的位置,从而简化思路,最后 利用韦达定理求出定点。 三、双曲线中有关面积与三角函数的综 合应用问题 例 3 对于椭圆y 2 a2 + x2 b2 =1(a>b> 0),我们称双曲线y 2 a2 - x2 b2 =1为其伴随双曲 线。已知椭圆C:y 2 3+ x2 b2 =1,其离心率是其 伴随双曲线T 的离心率的 2 2 倍。 (1)求椭圆C 的伴随双曲线T 的方程; 图3 (2)如图3,E,F 分别为双 曲线T 的下顶点和上焦点,过 F 的直线l与双曲线T 的上支