巧用椭圆、双曲线的垂径定理与第三定义解题-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■湖南省郴州市第二中学 曹美莲 解析几何是中学数学的重要组成部分, 也是高考数学中的重点、难点和热点之一。 新高考更加注重考查同学们对所学知识的探 究能力,考查将数学知识灵活运用到生活中 的能力,考查同学们的创新意识,能从数学的 角度发现问题、提出问题并解决问题。下面 我们来探索用椭圆和双曲线中的垂径定理、 第三定义来解决圆锥曲线的一些相关问题。 一、椭圆和双曲线的垂径定理 图1 椭圆的垂径定理:如 图1,已知直线l 与椭圆 E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 相交于A,B 两点,P 为线 段AB 的中点,O 为坐标 原点,且kOP,kAB 都存在,则kOP·kAB=- b2 a2 =e2-1。 图2 双曲线的垂径定理:如图 2,已知直线l与双曲线E: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)相交于A, B 两点,P 为线段AB 的中点, O 为坐标原点,且kOP,kAB 都存在,则kOP· kAB= b2 a2 =e2-1。 图3 例 1 如图3,已知 椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)的右焦点为F(1,0),离 心率为 1 2 ,△ABC 的三个 顶点都在椭圆上,设△ABC 的三条边AB, BC,CA 的中点分别为D,E,M,三条边所在 直线的斜率分别为k1,k2,k3,且均不为0,O 为坐标原点,若直线OD,OE,OM 的斜率之 和为1,则 1 k1 + 1 k2 + 1 k3 = 。 解析:由椭圆的垂径定理得kOD·kAB= e2-1=- 3 4 ,所以 1 kAB =- 4 3 ·kOD。同理可 得 1 kBC =- 4 3 ·kOE; 1 kAC =- 4 3 ·kOM。所以 1 k1 + 1 k2 + 1 k3 =- 4 3 (kOD+kOE+kOM)=- 4 3 。 点评:由题意知,三角形的三条边分别是 椭圆的三条弦,而其中点都与原点相连,求解 的问题也是与斜率有关,因此容易想到用椭 圆的垂径定理来解决问题。 例 2 已知双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0),点P 在x 轴上,过点P 的直线与双曲 线的右支交于 M,N 两点(点 M 在第一象 限),直线 MO 交双曲线的左支于点Q,O 为 坐 标 原 点,连 接 QN,若 ∠MPO =60°, ∠MNQ=30°,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( )。 A.2 B.3 C.2 D.4 图4 解析:如 图 4,设 弦 MN 的 中 点 为 R,连 接 OR,则OR 为△MNQ 的 中位 线,所 以∠MRO= ∠MNQ = 30°。 因 为 ∠MPO=60°,由 三 角 形 的 外 角 定 理 得 ∠POR=30°, 即直线OR 的倾斜角为150°。 因为∠MPO=60°, 所以直线 MN 的倾斜角 为120°。由双曲线的垂径定理得kMN·kOR = b2 a2 =e2-1,即tan 120°×tan 150°=e2-1, 解得e= 2。故选A。 点评:由 题 意 知,点 M,Q 关 于 原 点 对 称,MN 为 双 曲 线 上 的 弦,已 知∠MPO= 60°,可得直线 MN 的斜率。O 为QM 的中 点,只 需 作 出 MN 的 中 点 R,连 接 OR,由 ∠MNQ=30°易求得直线 OR 的斜率,再利 用双曲线的垂径定理,即kMN ·kOR= b2 a2 =e2 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年4月 -1,可求得双曲线的离心率。 二、椭圆和双曲线的第三定义 图5 椭圆的第三定义:如 图5,已知A,B 为椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)长 轴 的 端 点 (或 短 轴 的 端 点),P 是椭圆上异于A,B 的点,且kPA,kPB 均存在,则kPA·kPB=- b2 a2 =e2-1。 图6 双曲线的第三定义:如图 6,已知A,B 为双曲线E: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)长轴的端点 (或短轴的端点),P 是双曲线 上异于 A,B 的点,且kPA,kPB 均存在,则 kPA·kPB= b2 a2 =e2-1。 例 3 已知双曲线C:x2-y 2 2=1 ,设 A,B 分别为 C 的左右顶点,P 为 C 上 一 点,若tan∠PAB= 1 3 ,则 tan∠APB= 。 图7 解析:如图7,设点P 在第 一 象 限,由 题 意 知 kPA = tan∠PAB= 1 3 ,e= a2+b2 a = 3,由双曲线的第三定义知kPA· kPB=e2-1=2,所以kPB=6,即tan∠PBA= -6。所 以 tan∠APB = -tan(∠PAB+ ∠