数形结合“圆“形毕露-《中学生数理化》高考数学2024年4月刊

■湖南省郴州市第二中学 王 勇 建立平面直角坐标系,用代数的方法研 究几何曲线是解析几何的核心思想。直线和 圆既是解析几何的入门曲线,又是高考数学 常考内容。学好直线和圆的知识,对于深刻 体会解析几何常见思想方法是十分重要的。 我们在运用数形结合的思想方法时,要善于 发现“隐圆”,将一些复杂的问题转化为与直 线和圆有关的问题进行巧妙解决。 一、根据表达式特征,将代数问题转化为 直线与圆的位置关系问题 涉及与圆有关的最值问题,可借助图形 性质,利用数形结合求解。一般地: (1)形如μ= y-b x-a 的最值问题,可转化为 动直线斜率的最值问题。 (2)形如t=ax+by 的最值问题,可转化 为动直线截距的最值问题。 (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2 的最值 问题,可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离 平方的最值问题。 图1 例 1 “太极图”因其 形状如对称的阴阳两鱼互 抱在一起,故也被称为“阴 阳鱼太极图”。如图1是放 在平面直角坐标系中的“太 极图”,图中曲线为圆或半 圆,已知点P(x,y)是阴影 部分(包括边界)上的动点,则 y x-2 的最小值 为( )。 A.- 2 3 B.- 3 2 C.- 4 3 D.-1 解析:记 A(2,0),则k= yx-2 为直线 AP 的斜率,故当直线AP 与半圆x2+(y- 1)2=1(x>0)相切时,得k 最小,此时设 AP:y=k(x-2),则有 |-1-2k| k2+1 =1,解得 k=- 4 3 或k=0(舍去),即kmin=- 4 3 。故选C。 点评:本题通过将目标函数看作一个整体k, 从而转化为目标直线与已知圆有公共点的问题, 进而用几何法求解。也可以根据k= y2-y1 x2-x1 表 示的几何意义,即两点A(x1,y1),B(x2,y2) 连线的斜率,借助数形结合,分析动直线倾斜 角的变化状况,从而得到斜率的变化范围。 二、善于发现“隐圆”,应用数形结合进行 转化 1.利用圆的定义(到定点的距离等于定 长的点的轨迹)确定隐圆 例 2 若圆(x-2a)2+(y-a-3)2= 4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数 a的取值范围是 。 解析:由圆的定义可知,动点到原点的距离 为1的点的轨迹为圆x2+y2=1。从而原问题 可转化为圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4和圆 x2+y2=1相交,可得两圆的圆心之间的距离为 d= (2a-0)2+(a+3-0)2= 5a2+6a+9, 所以2-1< 5a2+6a+9<2+1,解得- 6 5< a<0,故实数a的取值范围为 - 6 5 ,0 。 点评:本题若应用距离公式转化为方程 问题求解,将会十分烦琐。分析动点满足的 条件,应用圆的定义,将问题转化为两圆的位 置关系问题,数形结合,十分巧妙。 2.利用圆的性质(直径所对的圆周角为 直角)确定隐形圆 例 3 在平面直角坐标系xOy 中,已 知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0, 2),若 圆 C 上 存 在 点 M,满 足|MA|2+ |MO|2=10,则实数a的取值范围是 。 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年4月 解析:设 M(x,y),由|MA|2+|MO|2= 10,可得x2+(y-1)2=4,所以点 M 在圆 x2+(y-1)2=4上,故圆x2+(y-1)2=4 和圆(x-a)2+(y-a+2)2=1相交或相切, 所以1≤ a2+(a-3)2≤3,解得0≤a≤3, 故实数a的取值范围为[0,3]。 点评:“圆的直径所对的圆周角等于90°” 是圆的重要几何性质,这一垂直关系可以借 助斜率、数量积、勾股定理等代数工具进行转 化;反之,当我们遇见这些与垂直有关的条件 时,可以联想转化为与圆有关的问题解决。 例 4 已 知 三 个 点 A(2,3),B(6, -3),P 在直线3x-4y+3=0上,若满足等 式AP→·BP→+2λ=0的点P 有两个,则实数 λ的取值范围是 。 解析:设P(x,y),则 AP→=(x-2,y- 3),BP→=(x-6,y+3),根据AP→·BP→+2λ =0,代入坐标化简得(x-4)2+y2=13- 2λλ< 13 2 。由题意知,圆与直线3x-4y+ 3=0相 交,所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= |3×4-4×0+3| 32+42 =3< 13-2λ,解得λ< 2,故实数λ的取值范围为(-∞,2)。 点评:A,B 为两定点,动点P 满足PA→· PB→=λ,当λ 为满足特定条件时,动点 P 的 轨迹可以是圆。特别地,当λ=0时,动点 P 的轨迹是以AB 为直径的圆。 3.根据“阿氏圆”发现隐圆 阿波罗尼斯圆:设A