第二章 直线和圆的方程 章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第一册 章末优化提升 网络构建 倾斜角 与斜率 倾斜角与斜率的关系 直 线和圆的 方程 直 线 圆 利用斜截式的判定方法位置 平行 关系 相交 垂直 利用一般式的判定方法 截距 注意：截距 点斜式可正，可负， 注意各也可为0 斜截式 形式间 两点式直线方程 的转化 的形式 和适用截距式 范围 两直线 一般式 的交点 两点间的距离 距离 点到直线的距离 两平行线间的距离 圆的标准方程 圆的方程 圆的一般方程 相离 直线与圆的 相交 坐标法位置关系 相切 外离 外切 圆与圆的 位置关系 相交 内切 内含 一考点聚焦 考点一 两条直线的位置关系 [例1] 已知两条直线l?:ax—by+4=0 和 l?:(a—1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b的值. (1)l?⊥l?,且l?过点(-3,-1); (2)l?//l?,且坐标原点到这两条直线的距离 相等. [解](1)由已知可得l?的斜率必存在， 所以k?=1-a.若k?=0,则1-a=0,a=1. 因为l?⊥l?,所以直线l?的斜率 k?必不存 在，即b=0. 又因为l?过(-3,-1),所以—3a+4=0,即a= (矛盾).43 所以此种情况不存在，即k?≠0. 68 第二章 直线和圆的方程 若k?≠0,即k?,k?都存在， k?=6,k?=1-a,L⊥?,所以kk?=-1,因为 即号(1-a)=-1. ① 又因为 l?过点(-3,-1),所以—3a+b+4 =0. ② 由①②联立，解得a=2,b=2. (2)因为l?的斜率存在，l?//l?, 所以直线l?的斜率存在. 所以k?=k?,即=1-a. ③ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， l?//l, 所以l?,l?在y轴上的截距互为相反数， 即告=-(-b). ④-k=-2由③④联立，解得 3,2.所以a,b的值分别为2,-2或 -归纳提升|I-- 两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重 合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直 线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系，解题时 要注意分析斜率是否存在.用一般式方程来判断，可以 避免讨论斜率不在的情况. 跟踪训练 1.(1)若直线x-2y+5=0与直线 2x+my-6 =0互相垂直，则实数 m= (2)过点(1,0)且与直线x—2y-2=0平行 的直线方程是 ( ) A.x-2y-1=0 B.x—2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 考点二 直线与圆的位置关系 [例2] 已知点P(-2,2)在圆O:x2+y2=r2 (r>0)上，直线l与圆O交于A,B两点. (1)r= ; (2)如果△PAB为等腰三角形，底边 AB= 2√6,求直线l的方程. [解](1)因为点P(-2,2)在圆O:x2+y2 =r2(r>0)上，所以 r=2√2. [答案] 2/2 (2)因为△PAB为等腰三角形，且点P在圆 O上， 所以 POLAB. 因为PO的斜率k=22-0=-1, 所以可设直线l的方程为y=x+m. -ay=8,得2x2+2mx+m2-8=0,由 △=4m2-8×(m2—8)=64—4m2>0, 解得—4<m<4. 设 A,B的坐标分别为(x?,y?),(x?,y?), x=-2m±J64-4m二-m±J16-m.可得 所以|AB|=√2|x?—x?I=√2(16-m2)= 2√6, 解得m=±2, 所以直线l的方程为x—y+2=0,x—y-2 =0. |归纳提升|l- ----- 直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其 判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程 组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心 到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断). 跟踪训练 2.已知点 A,B关于坐标原点O对称，|AB|= 4,圆M过点A,B且与直线x+2=0相切. 若 A在直线x+y=0上，求圆M的半径. 69 ?高中数学·选择性必修 第一册 考点三 圆与圆的位置关系 [例3] 圆O?的方程为x2+(y+1)2=4,圆 O?的圆心O?(2,1). (1)若圆O?与圆O?外切，求圆O?的方程； (2)若圆 O?与圆 O?交于 A,B 两点，且 |AB|=2√2,求圆O?的方程. [解](1)圆O?的方程为x2+(y+1)2=4, 圆心坐标O?(0,-1),半径为2,圆O?的圆心 O?(2,1). 圆心距为√(2-0)2+(1+1)2=2√2,圆 O? 与圆O?外切， 跟踪训练 3.已知圆C?:x2+y2— 6x—6=0,圆C?: x2+y2-4y-6=0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线的方程； (3)求公共弦的长度. 所求圆的半径为2√2-2, 所以圆O?的方程为(x-2)2+(y-1)2= 12-8√2. (2)圆O?与圆O?交于A,B两点，且|AB|= 2√2, 所以圆O?到AB的距离为√22-(√2)2=√2. 当圆O?到 AB的距离为√2时， 圆O?的半径为√(√2)2+(√2)2=2, 所以圆O?的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 当圆O?到 AB的距离为3√2时， 圆O?的半径为√(3√2)2+(√2)2=√20, 所以O?的方程为(x-2)2+(y-1)2=20, 所以圆O?的方程为(x—2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20. I归纳提升|Ⅱ 圆与圆的位置关系有三种：相交、相离(外离和内 含)、相切(内切和外切),其判断方法有两种：代数法 (通过联立两个圆的方程，得到关于y或x的一元二次 方程，根据方程解的个数来判断)、几何法(根据两圆圆 心距与两圆的半径的和或差之间的关系判断). 70 第二章 直线和圆的方程 考点四 与圆有关的轨迹问题 [例4] 已知圆心为C的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心C在直线l:x—y+1=0上. (1)求圆C的方程； (2)若线段 PQ的端点P的坐标是(5,0),端 点Q在圆C上运动，求线段 PQ的中点M 的轨迹方程. [解] 设点D为线段AB的中点，直线m为 D(3,-2).线段AB的垂直平分线，则1 因为k?=-3,所以km=g, 所以直线m的方程为x—3y-3=0. a-3+-3=0, =-2,由 得 所以圆心C(-3,-2), 跟踪训练 4.在①过点C(2,0);②圆G恒被直线 mx—y —m=0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并 解答. 已知 圆G 经 过点 A(0,0),B(1,1), 且 (1)求圆G的一般方程； (2)设P是圆G上的动点，求线段 AP的中 点M的轨迹方程. 半径 r=|CA|=√(-3-1)2+(-2-1)2 =5, 所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设点M(x,y),Q(xo,y?). 因为点P的坐标为(5,0), -2-5所以 即 又点 Q(xo,y?)在圆C:(x+3)2+(y+2)2= 25上运动，所以(x?+3)2+(y?+2)2=25, 即线段 PQ的中点M的轨迹方程为(x—1)2 +(y+1)2=25. 归纳提升|Ⅱ ---. 与圆有关的轨迹方程的求法 直接法 根据题目的条件，设出动点的坐标，并找出 动点坐标所满足的关系式 定义法 当列出的关系式符合圆的定义时，即可利 用定义写出动点的轨迹方程 代入法 若动点P(x,y)随着圆上另一动点Q(x?, y?)运动而运动，且x?,y?可用x,y表示， 则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即 得动点P的轨迹方程 提示 请完成《素能提升训练》章末检测卷二 71 的取值范围等价于求经过点 P(-1,1)和圆上的点 的所有直线的斜率范围， 从图中可知，斜率取最大值时 对应的直线斜率为正，且与圆 相切；斜率取最小值时对应的 直线斜率为负，且与圆相切。 yt P) 因为圆心(1,1)到直线 y=kx o x +k+1(x≠-1)的距离 d= |2k| ==√2,解得 k=±1, √k2+1 所以 的取值范围为[-1,1]. 答案 [-1,1] (x+去)+11.解析将 x2+y2+x+y=0化为 为图心，誓：(y+号)=÷,表示以!(-去，-号) 为半 径的圆.令x+y=t,即x+y-t=0, 2 2 由题可知，直线和圆有公共点，所以- √2 竖,即|t+1|≤1,解得-2≤l≤0. 即x+y的取值范围为[-2,0]. 答案 [-2,0] 12.解析 因为√x2+y2-4x=√(x-2)2+y2-4, 又实数x,y满足(x+2)2+(y-3)2=4, 所以点 A(x,y)在以C(-2,3)为圆心，半径r=2的 圆上. 又(x-2)2+y2表示圆上的点A(x,y)与定点 B(2,0) 的距离的平方， 因为|BC|=√(-2-2)2+(3-0)2=5,所以|BC|-r ≤1AB|≤|BC|+r, 即3≤|AB|≤7,所以9≤(x-2)2+y2≤49, 所以 5≤(x-2)2+y2-4≤45, 所以√5≤√(x-2)2+y2-4≤3√5,即√x2+y2-4x ∈[√5,3√5]. 答案 [√5,3√5] 题型五 13.B C:x2+y2-4x-2y=0可化为(x-2)2+(y-1)2 =5,圆心为C(2,1),半径为r=√5,则圆C交y轴正半 轴于M(0,2), 由直线l:x+y+2=0与直线l?:x+my-2m=0相交 于点 P,l?过定点(0,2),l?不过(0,2),所以P为l?上 任意动点. 设M关于直线l?:x+y+2=0的对称点Q(a,b), 16--2.解得则< ∴Q(-4,-2), ∴|PM|+|PN|=|PQl+|PN|. 由圆的几何性质知，当Q,P,N,C共线时， |PQl+|PN|取最小值， 即|QC|-r=√(2+4)2+(1+2)2-√5=2√5. 14.D 因为M(-2,3)关于y轴的对称点为M′(2,3),则 |PM|=|PM|,所以|PNI-|PM|=|PNI-|PM|≤ |NM|,当且仅当 P,M',N三点共线(且M'在P与N 之间)时取等号. 由圆C:(x-3)2+(y-4)2=9可知圆心为C(3,4),半 径 r=3. 因为|MC|=√(3-2)2+(4-3)2=√2, 所以|NM|=√2+3,即|PN|-|PM|的最大值为3 +√2. 15.解析 根据题意画出圆 x2+(y-2)2=1,以及点B(6, 2)的图象如图， y 5 4 升 2* →B A P 210 3 5 6 7x -2 -3 ^B' 作B关于x轴的对称点B',连接圆心与B',则与圆的 交点为A,|AB'|即为|AP|+|BP|的最小值， |AB'|为点(0,2)到点B'(6,-2)的距离减去圆的半径， 即|AB'|=√(6-0)2+(-2-2)2-1=2√13-1. 答案 2√13-1 章末优化提升 【考点聚焦】———[跟踪训练] 21.解析 (1)直线x-2y+5=0的斜率为 ,直线 2x+ my-6=0的斜率为一氙.云×(一盖)=-1,解得m= 1,故答案为 1. (2)设所求直线方程为x-2y+c=0.∵该直线经过点 (1,0),∴1-0+c=0,故c=-1,∴所求直线方程为x- 2y-1=0.故选 A. 答案 (1)1 (2)A 2.解因为圆M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平 分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于坐标 原点O对称，所以M在直线y=x上，故可设 M(a,a). 因为圆 M与直线x+2=0相切， 所以圆 M的半径为r=|a+2|. 由已知得|AO|=2,又MO|AO 故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4. 故圆M的半径r=2或 r=6. 34 3.解(1)圆C:x2+y2-6x-6=0,化为(x-3)2+y2= 15,圆心坐标为(3,0),半径为√15; 圆C?:x2+y2-4y-6=0化为x2+(y-2)2=10, 圆心坐标为(0,2),半径为√10. 圆心距为√32+22=√13, 因为√15-√10<√13<√15+√10, 所以两圆相交. (2)将两圆的方程相减，得-6x+4y=0, 化简得3x-2y=0, 所以公共弦所在直线的方程是3x-2y=0. (3)由(1)(2)知圆C?的圆心(3,0)到直线3x-2y=0的 班高d-元 t=2√15-2-2√14由此可得，公共弦的长 4.解 (1)方案一 选条件①. 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D?+E-4F>0), 则 则圆G的一般方程为x2+y2-2x=0. 方案二 选条件②. 直线mx—y-m=0恒过点(1,0). 因为圆G恒被直线mx—y-m=0(m∈R)平分， 所以 mx—y-m=0恒过圆心， 所以圆心坐标为(1,0). 又圆G经过点A(0,0),所以圆的半径r=1,所以圆G 的标准方程为(x-1)2+y2=1,一般方程为x2+y2-2x =0. 方案三 选条件③. 设圆G的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由题意可得 解得 则圆G的标准方程为(x-1)2+y2=1,一 般方程为 x2+y2-2x=0. (2)设M(x,y). 因为M为线段AP的中点，所以 P(2x,2y). 因为点P是圆G上的动点，所以(2x)2+(2y)2-2×2x =0,即x2+y2-x=0, 所以 M的轨迹方程为x2+y2-x=0. 第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 【自主学习探新知】 知识点一 距离之和等于常数(大于|F?F?|) 焦点 两焦点间的距离 +F=1(a>b>0)+F=1(a>b>0)知识点二 (一c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a2-b2 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标 +-1(a>b>0).准方程为 ∵2a=10,c=4,∴b2=a2-c2=9, 2+号=1.∴椭圆的标准方程为 (2)椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为 +F=1(a>b>0). 由椭圆的定义，知 2a=√(-2-o)+(喜+2)'+ √(-2-o)+(=-2)-3TD+-TC=2/0, ∴a=√10. 又c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6, 6+音-1.∴椭圆的标准方程为： (3)∵c=√6,∴a2-b2=c2=6. ① 又由a:b=2:1,得a=2b,代入①得4b2-b2=6, ∴b2=2,∴a2=8. 又椭圆的焦点在x轴上， 管+号=1.∴椭圆的标准方程为 [跟踪训练] 1.解 (1)由于椭圆的焦点在y轴上， ÷+方-1(a>b>0).∴设它的标准方程为： 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),- ÷+2=1.故所求椭圆的标准方程为： (2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 则 x2+=1.∴椭圆方程为 探究二 [例2][解]由已知得c=3,所以|F?F?|=6. 在△PF?F?中， I|FF?I2=|PFl2+|PF?I2-2|PF|PF?|cos 60°, 即36=|PFI2+|PF?l2-|PF?|PF?|. 由椭圆的定义得|PFI+|PF?|=4√3, ① 35