章末检测卷4指数函数与对数函数-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

章末检测卷四指数函数与对数函数 (本卷满分150分；考试用时 120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.者 To-| 是奇函数， 则 g(7)= () A.2 B.—2 C. 3 D.5 2.函数f(x)=1+log,z与g(x)=() 在 同一平面直角坐标系下的图象大致是 () 5.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20??比例递减.现医生为某病人注射了 2 000 mg该药物，那么x小时后病人血液 中这种药物的含量为 () A.2 000(1-0.2x)mg B.2 000×0,82 mg C 2 000(1-0.2*)mg D 2.000×0.2 mg 6.若函数f(x)=log+(x2-ax+3a)在区间 (2,+～)上是减函数，则a的取值范围为 () y+ yt A.(一，4) B.(一4,4) 2 2 C.(-4,4) D.[-4,4] 0 /1 x 0 1 x y+ A y B 2 2 o 1 C x 0/1 D x 3.(临沂高一期末)若a=e°·5,b=ln 2,c= log,0.2,则有 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 4.若函数f(x)=x2lga—2x+1有两个零点， 则实数a的取值范围是 () A.0<a<10 B.1<a<10 C.0<a<1 D.0<a<1或l<a<10 y=Tx2-t>0,b>7.(黄山高一期末)形如 0)的函数因其函数图象类似于汉字中的 “囧”字，故被称为“囵函数”.若函数f(x)= a3+x+1(a>0且a≠1)有最小值，则当c= 1,b=1时的“囧函数”与函数 y=log。|x|的 图象的交点个数为 () A.1 B.2 C.4 D.6 8.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2一 x;<急<16=0的两个实数根x?,x?满足 x?,则实数m的取值范围为 () A.m<4 c.2<m<4 B.-2<m<4 D.-2<m<2 127 ?高中数学·必修 第一册 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=a?-1+1(a>0,且a≠1)的 图象恒过点 A,则下列函数图象也过点 A 的是 () 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(烟台高一期末)求下列各式的值： (1)3++2log,2-log,等· (2)(-1)°+(2+10)~*+(√8)-÷ A.y=√1-x+2 B.y=|x-2|+] C.y=log,(2x)+] D.y=2x-1 10.(江苏泰州高一期中)已知3“=5°=15,则 a,b满足的关系有 () A.l+b=1 B.ab>4 C.a2+b2<4 D.(a+1)2+(b+1)2>16 11.已知函数 f(x)的定义域为 D,若对任意 x∈D,都存在y∈D,使得f(y)=-f(x) 成立，则称函数 f(x)为“M函数”.下列所 给出的函数中是“M函数”的有() B.y=÷A.y=x2 C.y=2-1 D.y=ln(x+1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.若函数f(x)=1gx+x-3的近似零点在 区间(k,k+1)内，k∈Z,则k= 13.某商品一直打7折出售，利润率为47%, 购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了 “买一件送同样一件”的活动，则此时的利 润率为 .(注：利润率=(销售价格 一成本)÷成本) 16.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇 函数，且当x>0时，f(x)=2*. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若|f(m)|=4,求实数m的值. 14.已知函数f(x)=x2-2x+log。“1在 (1.2)内恒小于零，则实数a的取值范围 是 128 17.(15分)已知函数f(x)=ax2+2x-2-:18.(17分)(淄博高一期末)汽车“定速巡航” a(a≤0). 技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车 被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路 状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量， 使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而 无须司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安 全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽 车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段 长度为 240 km的平坦高速路段进行测 试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油 量 F(单位：L)与速度v(单位：km/h)(O≤ (1)若a=-1,求函数的零点； (2)若函数在区间(0,1)上恰有一个零点， 求a的取值范围. v≤120)的下列数据： v 0 40 60 80 120 F 0 23 58 10 20 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关 系，现有以下三种函数模型供选择： F(o)=ad3+o3+co;F(v)=(号)*+a; F(v)=klog,v+b (1)请选出你认为最符合实际的函数模型， 并求出相应的函数解析式； (2)这辆车在该测试路段上以什么速度行 驶才能使总耗油量最少? 129 ?高中数学·必修 第一册 19.(17分)新华中学数学兴趣小组在探究函 数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶 性和周期性，还无法准确地描述出函数的 图象，例如函数y=lnx和y=x2,虽然它 们都是增函数，但是图象上却有很大的差 异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组 了解到了函数的凹凸性的概念.已知定义： 设连续函数f(x)的定义域为[a,b],如果 对于[a,b]内任意两数x?,x?,都有 r(4|<()(),,则称 f(x)为 (|≥[a,b]上的 凹 函数；若 f (a)f() ,则 f(x)为凸函数.对于函 数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了 解到了琴生不等式(Jensen 不等式):若 f(x)是区间[a,b]上的凹函数，则对任意 的x?=x?=⋯=x,∈[a,b],有不等式 r|+at⋯+x|< f(x?)+f(x?)+⋯+f(x,)恒成立(当目 n 仅当x?=x?=⋯=x时等号成立).小组 成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究 的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等 式求多元最值问题时，关键是构造函数.小 组成员选择了反比例型函数f(x)=二 和对数函数g(x)=logx,研究函数的凹 凸性. (1)设x?,x?,⋯,x>0,n≥2,且x?+x?+ ⋯+x,=1,求W=1-x+1-x+⋯+一-的最小值； (2)设r?,r?,⋯,r,,为大于或等于1的实 ,,+++T+⋯++≥数，证 明 ,+T;(提示：可设r;=e) (3)若a>1,且当x∈(0,1)时，不等式 g(mx2+x)≤0恒成立，求实数m的取值 范围. 130 如图所示： 4y 3 左-2 0 4 若h2(x)-t·h(x)+t=0有8个不同的实数解，令n= h(x), 则n2-tn+t=0有两个不等的实数根n?,n?,且0<n< 3,0<n?<3, 所以 (4.是).所以t的取值范围为 章末检测卷四指数函数与对数函数 1.B 依题意得g(7)=f(8)=-f(-8)=-(log?8-1)= —2.故选 B. 2.C函数f(x)=1+log?x的图象可看作是把函数y= log?x的图象向上平移1个单位长度得到，函数g(x)= (号)的图象可看作是把函数 y=(去)的图象向右 平移1个单位长度得到，故符合条件的选项为C. 3.A 指数函数 y=e2为增函数，则a=e?>e2=1;对数函 数 y=lnx为增函数，则ln1<ln 2<ln e,即0<b<1;对 数函数 y=log?x为增函数，则c=log?0.2<log?1=0.因 此 a>b>c.故选 A. 4.D lga≠0且△=4-4lga>0,解得0<a<1或1<a< 10,故选 D. 5.B由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时 20??比例递减，给某病人注射了2000mg该药物，x个 小时后病人血液中这种药物的含量为 y=2 000×(1- 20???=2 000×0.8*(mg),故选 B. 6.D 设u=x2-ax+3a,则函数f(x)由y=log+u,u=x2 一ax+3a复合而成，因为 y=log+u是减函数，所以u= x2-ax+3a在(2,+心)上单调递增，从而2≤2,解得a ≤4.又当x∈(2,+~)时，u=x2-ax+3a>0,所以当x =2时，u=4-2a+3a≥0,解得a≥-4.所以-4≤a≤4. 故选 D. .C ∵f(x)=a?+x+1=a(x++)++,且f(x)有最小值，∴ a>1.在同一平面直角坐标系中作出函数 y= 与 |.c y=log,|x|的图象，如图所示. +y 1 l-1 y-loglx| 0 至 作出函数图象，得出交点个数.由图象知，当c=1,b=1 时的“囵函数”与函数 y=log。|x|的图象有4个交点，故 选 C. 8.D 设f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得， f(号)<0,即(号)-(2m-8)×2+m2-16<0,即 4m2-12m-7<0,解得-号<m<茎.故选 D. 9.ABC 因为f(1)=a?+1=2,所以函数f(x)的图象恒过 点A(1,2).对于函数 y=√1-x+2,令x=1,得y=2, 故 A满足题意；对于函数 y=|x-2|+1,令x=1,得y= 2.故 B满足题意；对于函数 y=log?(2x)+1,令x=1,得 y=2,故C满足题意；对于函数y=2x-1,令x=1,得y =1,故 D不满足题意.故选 ABC. 10.ABD由3“=5°=15,得a=log,15>0,b=log,15>0. 对于A,÷+方=10g15+115=10g3+1og,5= +=1且a>0,log?15=1,故 A正确；对于B,因为- b>0,a≠b,所以1=a+÷>2√圆，,即 ab>4,故 B正 确；对于C,由+方=1知a+b=ab,而a2+b2=(a+ b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,故C错误；对 于 D,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2 +2>18>16,故 D正确，故选 ABD. 11.BD 依题意得，若b是f(x)的值域中的数，则一b也是 值域中的数，即f(x)的值域关于原点对称，选项A中函 数的值域为(0,+～),不是“M函数”;选项B中函数的 值域为(一～,0)U(0,+心),是“M函数”;选项C中函 数的值域为(0,+～),不是“M函数”;选项D中函数的 值域为R,是“M函数”,故选 BD. 12.解析∵f(2)=1g 2-1<0,f(3)=1g 3>0,∴k=2. 答案 2 13.解析 设商品的原价为x元，成本为y元，则0.7x=(1 +0.47)y,∴x=2.1y.若该商品参加“买一件送同样一 件”的活动，则每件售价为0.5x=0.5×2.1y=1.05y, -9-1=0.05=5%.利润率为 答案 5% 14.解析 f(x)=x2-2x+log,在(1.毫)内恒小于 零，即(x-)2<log,(x-1)对于x∈(1,音)·恒成立，画 出函数 y=(x-1)2与y=log。(x-1)的图象(略), (号=(号得 [·1]答案 15.解 (1)原式=÷+(log,2-1og号)=÷+2=. (2)原式=1+[(号)]+(22)-*=1+÷+÷=2. 16.解 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以 f(0)=0. 设x<0,则一x>0,所以 f(-x)=2-*. 131 又f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x), 即一f(x)=2~,所以 f(x)=-2~. 综上所述 (2)因为 且|f(m)|=4,显然 m ≠0, (2=4{1-2-4.所以 解得m=2或m=-2. 17.解 (1)当a=-1时，f(x)=-x2+2x-1, 令f(x)=-x2+2x-1=0,解得x=1, 所以当a=-1时，函数f(x)的零点是1. (2)①当a=0时，2x—2=0,解得x=1,符合题意. ②当a<0时，f(x)=ax2+2x-2-a=a(x-1)·(x+ “去),今共等子染，解得x=1vx=-“专2,,由于函数在 区间[0,1]上恰有一个零点，则-“2≥1或-?≠2≤0,解 得-l≤a<0或a≤-2,综上可得，a的取值范围为(-, -2]U[-1,0]. 18.解 (1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定 义域为[0,120],且在[0,120]上为增函数； 函数F(v)=(去)+a在[0,120]上是减函数，所以不 符合题意； 而函数 F(v)=klog。v+b的v≠0,即定义域不可能为 [0,120],也不符合题意； 所以选择函数 F(v)=av3+bu3+cv. 由已知数据得< +80b+c)=10, a=38 400’ 解得 c=2. F(o)=381o3-zxo+Z(O≤x≤120)所以 (2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y,行驶时间 为t,由题意得： y=Fr=(38400-2+)·4-1-+ 70=160(c-80)2+30. 因为0≤v≤120,所以，当v=80时，y有最小值30. 所以这辆车在该测试路段上以80 km/h的速度行驶时 总耗油量最少，最少为30 L. 19.解 (1)记函数 f(x)=1·,首先证明其凹凸性： fa)±f2-r()Vx?,x。∈(0.1),则 = +: 2 Z?1- 2 -d?-1-h [(1-x?)+(1-x?)]2-4(1-x?)(1-x?) 2(1-x?)(1-x?)(1-x?+1-x?) =2n-19a5-2-=0 所以 f(x)=1二在(0,1)为凹函数. 由琴生不等式，得 r(5+x,t·+x)<((x)+/(a+⋯+/a?), 告信)高 所以W=1--x+1-x+⋯+1-7>一T, 当x?=x?=⋯=x,时，W的最小值为，“下. (2)设r;=e,因为r;≥1,故x;≥0(i=1,2,3,⋯,n), ,+⋯+≥+要证 ⋯+≥只需证 由琴生不等式，只需证h(x)=在[0,+～]为凹 函数. x·k≥0.n(一)-设 中中 下证44)±)≥h(一),即证 >平 即证(e+1)(e3+1+e3+1≥2(e1+1)(e2+1), (e+e2-2e)(e-1)≥0.化简得 (c2-c÷)(-1)≥0,(*),±≥0,即证 e≥1, 4)±h(a≥n()(*)式显然成立，所以 成立， ++++⋯+h(x)在(0,+心)为凹函数，则· n .+1≥Vrr⋯+1-得证. (3)当x∈(0,1)时，不等式g(mx2+x)≤0恒成立，即 log。(mx3+x)≤0,因为a>1,即0<mx2+x≤1恒 成立， 132 可得-÷<m<, f(o)k(x)=sn2sn(21一晋)=÷si2x一san 2cs2r在x∈(0,1)时恒成立. ÷≥1,-÷∈(-≈,-1),所以m>因为x∈[0,1],所以- -L-,im4r-2(u+). 所 以 当-1. 由=(÷-)一÷,及÷≥1,可得≥0,所 二sin(4x+否)=-1时，y=f(x)g(x)有最大值，为- 故 以 m≤0. 选 C. 故{m|-1<m≤0}. 9.BC 选项A中，一晋=-2π+晋，是第二象限 备A 章末检测卷五三角函数 晋·r=x>r=3,误；选项B中，设该扇形的半径为r,则- ∴S?=÷×晋×8=普， 1.D -1120?=-360°×4+320°,-1120°角所在象限与 320°角所在象限相同，又320°角为第四象限角，故选 D. hi· ,B正确；选项 C 中， 122.A 由题意得扇形的半径为 ,故该扇形的面积为- ×2×m-m+ √(-3)+4=5,∴csa=一言，C正确；选项 D中a= 30°是锐角，但2a=60°不是钝角，D错误.故选 BC. ∵x=晋和x=名x是两条相邻的对称轴∴T=210.BD·π+2kπ<a<+2kπ,3.B 因为α是第三象限角，所以 ×(5x-晋)=2x,∴w=1.∴f(a)=cos(x+q).A∈Z.所以音+kx<量<+kπA∈Z,所以号的终边在 os号|--cos, ①若函数在x=否 处取得最大值，则r(否)=第二象限或第四象限.又 ,所以 cos(+q)=1,+q=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-否，k∈cos≥<0,所以号!的终边所在的象限是第二象限. 2.当k=0时，φ=一吾，此时f(x)=cos(x-晋),将 f(x)图象向左平移个单位得到g(x)=cos(x+F 一否)]=cos x. 4.C tan 70°·cos 10°/3tan 20°-1)=70·cos 10 √3·n 20-1)= O 20cos l0 sin 20-os 202 =s 20×2sin(20°-30°)=-imn 20°=-1.故选C. sin(a+β)=≥,sin(a-β)=号， 所以B正确. r(音)= cos(晋+q)=-1.晋+q=2kπ-π,k∈Z,g=2kn- ②若函数在x=否处取得最小值，则5.C 由 子π:A∈2.当k=1时，g=音m,∵Igl<晋，∴不 存在. mg-5.:lgr(mm g)=1ogr5=4. 函数f(x)的最小正周期为2π,故D正确. 11.AD对于①,因为x∈R,f(-x)=sin |-x|+ |sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以 f(x)为 x∈(晋，π),所以 f(x)偶函数，故①正确；对于②,因为. =sin x+sinx=2sin x,所以 f(x)在((号，π)上单调递 减，故②错误；对于③,当x∈[-π,0]时，f(x)= -sinx-sinx=-2sinx,此时令f(x)=0,则有x= 6.D ∵Q∈(0,空)⋯A-0∈(-4,4),又sin(F-o) 一唇∴于-0∈(0.晋),∴cos(-0)= √I-sir(5-o)-25. ∴sin(晋-20)=2sin(于-0)cos(-0)=告： 一π或x=0.当x∈(0,π)时，f(x)=sinx+sin x= 2sinx,此时令f(x)=0,则有x=π,所以 f(x)在 [一π,π]上有3个零点，故③错误；对于④,因为f(x) 为偶 函 数，所 以 当 x≥0 时，f(x)= /2sinx,x∈[2kπ,π+2kπ],k∈Z, cos 20, :cos(吾-20)=2cos(F-0)-1=号=sin 20, =sin(20+晋)=sin 20os晋+cos 20in晋=号×÷+ 言×图-3+d.故选D. 此时 f(x)的最大值 0,x∈(π+2kπ,2π+2kπ),k∈Z, 为 2.由偶函数的对称性可知，当 x<0时，f(x)的最大 7.C∵f(x)=2sinx的周期为2π.∴|x?-x?|的最小值 值也为2.所以 f(x)的最大值为2,故④正确.故选 AD. 为 π. 12.解析 函数y=cos(2x+g)的图象向右平移至个单位 长度后，得到 f(x)=cos(2x-π+q)=-cos(2x+φ)=g(x)=sin[2(x-晋)]-sin(2x-吾),8.C由题可知 133