章末检测卷1集合与常用逻辑用语-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

章末检测卷一集合与常用逻辑用语 (本卷满分150分；考试用时 120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.(湖 南 益 阳 期 末)二元一 次 方程 组 (x+y=6, 的解集是 () lx=2y A.{(5,1)' B.{(4,2) C.{(-5,-1)} D.{(-4,—2)} 2.满足条件 MU{a}={a,b}的集合 M的个 数是 () 6.已知集合 A={2,-2},B={x|x2-ax+4 =0},若AUB=A,则实数a的取值范围为 () A.{a|-4<a<4} B.{a|-2<a<2} C.{-4,4} D.{a|-4≤a≤4} 7.如图所示，M,P,S是V的三个子集，则阴 影部分所表示的集合是 () A.4 B.3 C.2 D.1 3.(河南洛阳期末)已知命题 p:3x∈{x |0<x<4},x<1或x>3,则命题的否定是 () M A.(M∩P)∩S B.(M∩P)US P S V A.3x∈{x|0<x<4},x≥1或x≤3 C.(M∩S)∩(CsP) B.3x∈{x|0<x<4},l≤x≤3 C.Vx∈{x|0<x<4},x≥1或x≤3 D.Vx∈{x|0<x<4},l≤x≤3 4.一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根 和一个负根的充分不必要条件是() A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1 5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命 题的是 () A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 ÷>2D.存在一个负数x,使 D.(M∩P)U([vP) 8.某校高二(一)班共有学生 50 人，每名学生 要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六 门课程中选择三门课程进行学习.已知选择 物理、化学、生物的学生各有至少 20 人，这 三门课程都不选的有10 人，这三门课程都 选的有10人，在这三门课程中选择任意两 门课程的至少有13人，在物理、化学中只选 一门的学生至少有6人，那么同时选择物理 和化学这两门课程的学生人数至多为 () A.16 B.17 C.18 D.19 115 ?高中数学·必修 第一册 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分. 9.下列表述不正确的有 ( ) A.空集没有子集 B.任何集合都有至少两个子集 C.空集是任何集合的真子集 D.若 至A,则A≠O 10.已知集合U为全集，集合A,B,C均为U 的子集.若A∩B=Ω,A∩C≠0,B∩C≠ 0,则 ( ) A.ACC(B∩C) B.CCC(AUB) C.AUBUC=U D.A∩B∩C= (1)当n=4时，一个满足条件的集合A是 (写出一个即可); (2)当n=10时，满足条件的集合A的个 数为_ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)判断下列命题是全称量词命题还 是存在量词命题，写出这些命题的否定，并 判断真假. (1)有一个奇数不能被3整除； (2)Vx∈Z,x2与3的和不等于0; (3)三角形的三个内角都为60°; (4)存在三角形至少有两个锐角. 11.下列说法正确的是 ( ) A.“对任意一个无理数x,x2也是无理数” 是真命题 B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件 C.命题“3x∈R,x2+1=0”的否定是“Vx ∈R,x2+1≠0” D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是 “m-2<x<m+2”,则实数m的取值范 围是[1,3] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.设全集U=R,集合A={x|x<0},B={x| x>1},则AU(CB)= 13.“x-1≤3”是“x≤4或x≥6”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分""充 要”或“既不充分也不必要”) 14.(北京师范大学附属中学高一期中)已知集 合U={1,2,⋯,n},n∈N*.设集合A同时 满足下列三个条件： ①ACU;②若x∈A,则2x A;③若x∈ CA,则2x CA. 116 16.(15分)设集合A={x|-1≤x≤2},集合 B={x|2m<x<1}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实 数 m 的取值范围； (2)若B∩(CgA)中只有一个整数，求实数 m 的取值范围. 17.(15分)设命题p:3x∈R,x2-2x+m-3 =0,命题q:Vx∈R,x2-2(m-5)x+m2 +19≠0,若p,q都为真命题，求实数m的 取值范围. 117 ?高中数学·必修 第一册 18.(17分)(安徽合肥庐江第五中学高一月 考)设数集 A由实数构成，且满足：若x∈ =z∈A.A(x≠1且x≠0),则 (1)若 2∈A,试证明 A中还有另外 2个 元素； (2)集合 A 是否为双元素集合?请说明 理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元 素的和为- ,且 A中有1个元素的平方等 于所有元素的积，求集合 A. 11s 19.(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现 笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课 题.对于非空数集 A,B,定义A×B={(x, y)|x∈A且y∈B},将A×B称为“A与B 的笛卡尔积”. (1)若A={-1,0,1},B={-1,1},求A ×B和B×A; (2)试证明：“A?×A?=A?×A?”是“A?= A?”的充要条件； (3)若集合 H是有限集，将集合 H的元素 个数记为|H|.已知|A?×A?|=m3(m∈ N*),且 存 在 实 数a满 足 )A?|+|A?×A?I ≥a 对任意m∈ A?×A?I N*恒成立.求a的取值范围，并指明当a 取到最值时|A?|和|A?|满足的关系式及 m 应满足的条件. 118 则 22-a×2+4=0,解得a=4,满足△=a2-16=0;则一晋+2kx<晋l<+2kx(k∈Z), ③若 B={-2,2},则x2-ax+4=0有两个不同的实数 即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),注意到ι∈[0,24], 所以 O≤t≤7或11≤t≤19或 23≤t≤24, 根—2和 2, 则(-2)2-a×(-2)+4=0,22-a×2+4=0,则a无解. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当. 综上，实数a的取值范围为{a|-4≤a≤4}.故选 D. 14.解 (1)由振幅为2,可得A=2,由噪声声波曲线经过点 7.C 题图中的阴影部分是M∩S的子集，但该子集中不含 集合P中的元素，且该子集包含于集合P的补集，用关 系式表示出来即可. (1,-2),得-2=2sin(等×1+g). 又因为0≤g<π,所以q=誓， 8.C 把50名学生看成一个集合U,选择物理课程的人组 成集合 A,选择化学课程的人组成集合 B,选择生物课程 的人组成集合C,将选择不同科目的学生视为不同的集 合，作出相应的 Venn图，使用数形结合思想求解.要使 同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，且满 足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人，这三门 课程都选的有10人，则其他几个选择的人数均为最少， 故只选物理的最少有6人，只 U 选化学的最少有6人，三门课 A 所以 f(ax)的解析式为 f(a)=2sin(2Fx+5π). 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相 反，所以g(a)=-2sin(答x+普). (2)证明 由(1)可知g(x)——2sin(x+), 所以g(x)+g(x+1)+g(x+2)=-2sin(x+晋)- 日回(8)(6)程中只选化学、生物的最少有 (10), 2sn[(x+1)+晋]-2sin[(x+2)+晋]= -2(sinrcos+cossin)-2sin(x+) -2sin(等x+晋)=√3sinx-cosx+2cosx- √3sin2x-cosx=0. (3) (3)`3人，只选物理、生物的最少有 ④3人，只选生物的最少有4人， (10) C 以上最少有42人，可作出如 图所示的 Venn图，所以三门课程中只选物理、化学的至 多有8人，所以同时选择物理和化学这两门课程的学生 人数至多为10+8=18. 9.ABC √0,故 A错误；?只有一个子集，即它本身， 所以B错误；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 真子集，所以C错误；而D正确，故选 ABC. 所以g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值. 章末检测卷一集合与常用逻辑用语 10.AD 如图所示： 由(二2 {=2. U1. B 得 所以二元一次方程组 CA B {=2,的解集是{(4,2)}.故选 B. 2.C 由MU{a}={a,b}知，一定有b∈M,∴M={b}或M 由图可得AC(B∩C),故 A正确； 集合C不是C(AUB)的子集，故B错误； AUBUC≠U,故C错误； ={a,b}. 3.D 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，改量词 且否定结论，所以命题p的否定为Vx∈{x|0<x<4},1 A∩B∩C=0,故 D正确.故选 AD. ≤x≤3.故选 D. 11.CD x=√2是无理数，x2=2是有理数，故 A错误；x= 4.C∵一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个.负根，∴ 解得a<0.故满足题意的a的 取值集合应是集合{a|a<0}的真子集，结合选项可知 -1,y=-2时，xy>0,但x+y=-3<0,不是充要条 件，故B错误；命题“3x∈R,x2+1=0”的否定是“Vx ∈R,x2+1≠0”,故C正确；若“1<x<3”的一个必要不 m+2=3充分条件是“m-2<x<m+2”,则 且两个等 号不同时取得，解得1≤m≤3,故 D正确.故选 CD. 选 C. 5.B 锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；B 为存在命题，当x=0时，x2=0成立，所以B正确；因为 12.解析 ∵B={x|x>1},∴[,B={x|x≤1}, 则 AU(lB)={x|x≤1}. 答案 {x|x≤1} √3-(-√3)=0,所以C为假命题；对于任何一个负数x, ÷<0,所以D错误，故选 B.都有- 13.解析 由x-1≤3得x≤4,则“x-1≤3”是“x≤4或x ≥6”的充分不必要条件. 6.D 由AUB=A,得BA,当B=?时，△=a2-16<0, 答案 充分不必要 解得-4<a<4; 14.解析 (1)当n=4时，集合U={1,2,3,4}.由①ACU; ②若x∈A,则2x∈A;③若x∈CA,则2x≠CA,可得 当1∈A时，2A,即2∈CA,则4CA,即4∈A,但 元素3与集合A的关系不确定，故 A={1,4}或A={1, 当 B≠0时，已知 A={-2,2}, ①若 B={-2},则x2-ax+4=0有两个相等的实数根 -2,则(-2)2-a×(-2)+4=0,则a=-4,满足△=a2 -16=0; 3,4};当2∈A时，4←A,1←A,元素3与集合A的关系 不确定，故 A={2}或 A=(2,3}.综上所述，A={1,4}或 ②若 B=(2},则x2-ax+4=0有两个相等的实数根 2, 125 A={1,3,4}或 A=(2}或 A=(2,3}. (2)当n=10时，集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.由 ①AU;②若x∈A,则2x∈A;③x∈CA,则2x CA,可得当1∈A时，2A,即2∈CA,则4≠CA,即 4∈A,8∈CA,所以1,4必须同属于集合 A,此时 2,8 属于集合 A对全集U的补集；或1,4必须同属于集合 A对全集U的补集，此时2,8属于集合 A. 当3∈A时，6∈A;若3∈CA,则6CA,即6∈A; 当5∈A时，10←A;若5∈CA,则10←[A,即10∈A. 而对元素7,9没有限制，所以集合A可能为 (1,4},{2,8},{1,4,7,9},{2,8,7,9}, {1,4,3},{2,8,3},{1,4,6},{2,8,6}, {1,4,5},{2,8,5},{1,4,10},{2,8,10}, {1,4,7},{2,8,7},{1,4,3,7},{1,4,3,9}, {1,4,9},{2,8,9},{2,8,3,7},{2,8,3,9}, {1,4,6,7},{1,4,6,9},{2,8,6,7},{2,8,6,9}, {1,4,5,7},{1,4,5,9},{2,8,5,7},{2,8,5,9}, {1,4,10,7},{1,4,10,9},{2,8,10,7},{2,8,10,9}. 所以满足条件的集合A共有32个. 答案 (1){1,4}(答案不唯一)(2)32 15.解 (1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被 3 整除，假命题. (2)是全称量词命题，否定为：3x∈Z,x2与3的和等于 0,假命题. (3)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内 角不都为60°,真命题. (4)是存在量词命题，否定为：每个三角形至多有一个锐 角，假命题. 16.解 (1)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，得BA. m≥号，当 B=0时，2m≥1,解得 ,满足 BCA,则 m ≥2: 12m≤-1,解得-号<m<去.当 B≠0时， {mm≥-2}.综上所述，实数m的取值范围为 (2)依题意，得CgA={x|x<-1或x>2}. 由B∩(CgA)中只有一个整数知 B≠②, 从而得B∩(CA)={x|2m<x<1}∩{x|x<-1}中仅 有一个整数—2, 因此有-3<2m<-2,即一是<m<-1. {m|-≥≤m<-1}.所以实数 m的取值范围为 17.解 若命题 p:3x∈R,x2-2x+m-3=0为真命题，则 △=4-4(m-3)≥0,解得m≤4; 若命题q:Vx∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0为真命 题，则A=4(m-5)°-4(m2+19)<0,解得m>号. 又p,q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤ 4)∩{m|m>言}={m|≥<m≤4}. =2=-1∈A.18.解 (1)证明 由题意，若2∈A,则- --D-2∈A.又因为-1∈A,所以： 去即集合A中还有另外2个元素，分别为一1和- (2)集合A不是双元素集合.理由如下： =∈A.由题意，若x∈A(x≠1且x≠0),则- 六eAeA则- 所以集合A中应包含x,二：1-号， 故集合A不是双元素集合. (3)由(2)及已知条件可得集合A中的元素个数应为3 或 6. ()(1-)=-1,且A中有1个元素的平因为： 方等于所有元素的积， 所以 A中应有6个元素，且其中1个元素为-1. ÷∈A,2∈A.由-1∈A结合已知条件可得- 又因为-1+号+2=言， 19,所以剩余3个元素的和为- 6’ 即x+1+1-, 整理得 6x3-19x2+x+6=0, 即(x-3)(2x+1)(3x-2)=0, 解得x=3或x=-去或x=号. 所以A={-1,去，2,一去，3.号}. 19.解 (1)由题意可得A×B={(-1,-1),(-1,1),(0, -1),(0,1),(1,-1),(1,1)}, B×A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1, 0),(1,1)}. (2)若A?=A?,设A?=A?=A, 由定义可知A?×A?={(a,b)|a∈A且b∈A}=A。 ×A?, 所以“A,×A?=A?×A?”是“A?=A?”的必要条件； 若A?×A?=A。A?,对任意(a,b)∈A?A?,均有(a, b)∈A?×A?, 即对任意a∈A?,b∈A?,均有a∈A?,b∈A?, 由任意性可知A?≤A?,A?A?,则A?=A?, 所以“A?A?=A?A?”是“A?=A?”的充分条件. 综上所述，“A,×A?=A?A?”是“A?=A?”的充要条件. (3)设|A?|=c,|A?|=d,c,d∈N', 则|A,×A?|=|A?A?|=cd=m3,|A?A?|=c2,|A? ×A?|=d2, √A0ASAOA=√=√+可得， >√2√5·=F, 当且仅当合一世，,即 c=d时，等号成立， 所以实数a的取值范围(-,√2). 若a取到最大值，则c=d,即|A?|=|A?|, 可得c2=m3,即c=√m2=(√m)3∈N, 所以m=k2,k∈N*. 126