专题1 集合、充分必要条件的综合问题-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第一册 专题1集合、充分必要条件的综合问题 题型一与集合有关的参数问题 1.已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|2≤x≤6- m},C={x|m-1≤x≤1+2m},U=R. (1)若(CA)∩B=0,求m的取值范围； (2)若B∩C≠0,求m的取值范围. 2.已知集合 A={x|2-a≤x≤2+a},B={x |x≤1或 x≥4},U=R. (1)当a=3时，求A∩B; (2)若a>0,A∩(lB)=A,求实数a的取值 范围. 题型二与集合有关的创新题型问题 4.(湖南长沙长郡中学高一上期中)若规定集合M= {a?,a?,⋯,a?}(n∈N*)的子集N={a,,a,,⋯, a}(m∈N^)为M的第k个子集，其中k=24-'+ 2-1+⋯+2'--I,例如 P=(a?,a?}是M的第5个 子集，则 M的第 25个子集是_ 5.(北京昌平高一上月考)对于正整数集合A={a?, a?,⋯,a,}(n∈N*,n≥3),若去掉其中任意一个 元素a(i=1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成 的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两 个集合的所有元素之和相等，则称集合A为“和 谐集”. (1)判断集合{1,2,3,4,5}是不是“和谐集”(不必 写过程); (2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”,并证 明此集合为“和谐集”; (3)当n=5时，集合A={a?,a?,a?,a?,as},求证： 集合A不是“和谐集”. 3.(山东菏泽高一期末)已知集合A={x|m<x< 2m},B={x|x≤-5或x>4}. (1)当m=3时，求AU([gB); (2)在①A≤CB;②A∩B=0;③A∩(CB)=A 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并 求解.若_ _,求实数 m的取值范围. 题型三充分条件、必要条件与充要条件的探 究与证明 6.若a,b都是实数，试从①ab=0;②a+b=0;③a (a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件，用序号 填空： (1)“a,b都为0”的必要条件是 (2)“a,b都不为0”的充分条件是 (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是 18 第一章 集合与常用逻辑用语 7.(江苏镇江高一期中)已知ab≠0,求证：a+b=1 的充要条件是a?+b3+ab-a2-b2=0. 10.设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合 B={x|2-a≤x≤1+2a},a∈R. (1)若a=3,求(CA)∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a 的取值范围. 题型四与充分必要条件有关的参数问题 8.已知集合A={x|x<a或x>a+2},B={x |x≥3}. (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求a的取 值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件， 求a的取值范围； (3)若“x∈CA”是“x∈B”成立的充分条件，求a的 取值范围； (4)若“x∈CgA”是“x∈B”成立的充分不必要条 件，求a的取值范围. 11.已知集合 A={x|a-1≤x≤2a+1},B={x |-2≤x≤4}.在①AUB=B;②“x∈A”是“x∈ B”的充分不必要条件；③A∩B=②这三个条件 中任选一个，补充到下面的横线处，并求解下列 问题. (1)当a=3时，求C(A∩B); (2)若_ _,求实数a的取值范围. 9.(陕 西 西 安 高 一 期 末)已知集合 A={x |a-2<x<2a+1},B={x|0<x<7}. (1)若a=1,求AUB; (2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取 值范围. 19 {m|÷≤m<子).1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 ∴当B∩C≠O时，m的取值范围为 2.解 (1)当a=3时，A={x|-1≤x≤5},又B={x |x≤1或x≥4}, 【自主学习探新知】 知识点 2.不同 一真一假 3.Vx∈M,-p(x) 存在 量词命题 ∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}. (2)若a>0,则A不为空集.【互动探究解疑难】 ∵B={x|x≤1或x≥4},∴CgB={x|1<x<4}. 由A∩(CB)=A,得A≤CB, ÷2+a<l: 探究一 [例1][解] (1)该命题的否定是存在一个平行四边形， 它的对边不都平行. 解得a<1, (2)该命题的否定是日a∈R,方程x2+ax+2=0没有实 数根. ∴a的取值范围是{a|0<a<1}. 3.解 (1)当m=3时，A={x|3<x<6},(3)该命题的否定是3a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一 或不存在. 因为 B={x|x≤-5或x>4}, 所以[gB={x|-5<x≤4},(4)该命题的否定是存在被5整除的整数，末位不是0. 跟踪训练 故 AU(CB)={x|-5<x<6}. (2)若选①:当A=时，m≥2m,1.解 (1)存在一个矩形不是平行四边形； 即当m≤0时，ACCRB成立；(2)存在一个素数不是奇数； ((3)3x∈R,使得x2-2x+1<0. 当A≠0时，m>0,由A≤[B可得探究二 解得-5≤m≤2,此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m|m≤2). 若选②:当A=?时，m≥2m,即 当m≤0时，A∩B=0成立； 当 A≠时，即 m>0, {2d由A∩B=②可得 [例2][解] (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的 绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它 为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每 一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形， 因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“Vx,y∈Z,√2x+y≠3”.当x=0,y= 3时，√2x+y=3,因此命题的否定是假命题. 解得-5≤m≤2,此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m|m≤2). 若选③:由A∩(CgB)=A可得ACCB. 当A=时，m≥2m,即当m≤0时，A≤CB成立； 跟踪训练 2.D 把存在量词改为全称量词，同时把“≤”改为“>”. 探究三 12s=4.当 A≠0时，即m>0.由A≤CB可得[例3][解] 因为一p为假命题，所以命题 p:Vx∈R,m +x2-2x+5>0为真命题，m+x2-2x+5>0可化为m >-x2+2x-5=-(x-1)2-4,即m>-(x-1)2-4 对任意x∈R恒成立，只需m>—4即可，故实数m的取 值范围为{m|m>-4}. 解得-5≤m≤2,此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m|m≤2}. 题型二 4.解析 因为N={a,,a,⋯,a}(m∈N*)为M的第k个 子集，且k=2^-1+2-1+⋯+2-',25=2?+23+2?= 21-1+2?-1+2?-1, 跟踪训练 3.解 因为一p为假命题，所以命题 p:3x∈R,m-x2+ 2x-5>0为真命题，m-x2+2x-5>0可化为m>x2- 所以M的第25个子集是{a?,a?,a?}.2x+5=(x-1)2+4,即3x∈R,m>(x-1)2+4成立， 答案 {a?,a?,a?}只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本 题也可利用二次函数 y=-x2+2x+m-5的图象的顶 点在x轴上方，转化为对应方程△>0进行解题) 5.解 (1)集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. (2)集合{1,3,5,7,9,11,13}为“和谐集”. 证明如下： 专题1集合、充分必要条件的综合问题 题型一 ∵3+5+7+9=11+13. 1+9+13=5+7+11, 9+13=1+3+7+11, 1+9+11=3+5+13, 1+3+5+11=7+13, 3+7+9=1+5+13, 1+3+5+9=7+11, 1.解 (1)∵A={x|2≤x≤8}, ∴CA={x|x<2或x>8}. ∵(C?A)∩B=0,∴BCA. 当 B=时，6-m<2,解得m>4; 当B≠a时、8-m=:解得-2≤m≤4. 综上所述，m的取值范围是{m|m≥-2}. 1+2a-1 ∴集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”. (3)证明：假设集合A是“和谐集”,不妨设O<a?<a?<a? <a?<a?,则集合{a?,a?,a?,as}能分成两个交集为空集 的子集，且两个子集元素之和相等，(2)由题意知，若B≠0,C≠×,则 则有a?+a?=a?+a?①,或a?=a?+a?+a?②,解得-2≤m≤4. 集合{a?,a?,a?,a}也能分成两个交集为空集的子集，且 两个子集元素之和相等， 又∵B∩C≠0,∴m-1≤6-m≤1+2m或2≤1+2m≤ 6-m,解得-2<m<2, 则有a?+a?=a?+a?③,或a?=a?+a?+a?④, 6 由①③,得a?=a?, 由①④,得a?=—a?· 由②③,得a?=—a?, 由②④,得a?=a?, 都与假设矛盾，所以假设不成立. 故当n=5时，集合A一定不是“和谐集”。 题型三 6.解析 ①ab=0?a=0或b=0,即a,b至少有一个为0; ②a+b=0?a,b互为相反数，则a,b可能均为0,也可能 为一正一负； (6=0;③a(a2+b2)=0=a=0或 ①ub>0=(6>0,|0<0:则a,b都不为 0. 故(1)“a,b都为0”的必要条件是①②③; (2)“a,b都不为0”的充分条件是④; (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是①. 答案 (1)①②③ (2)④ (3)① 7.证明 ①必要性：因为a+b=1.所以a+b-1=0. 所以 a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2- ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. ②充分性：因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0, 所以a≠0且b≠0. 因为a2-ab+b=(a-多)+2b>0. 所以a+b-1=0,即a+b=1. 综上可得，当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ ab-a2-b2=0. 题型四 8.解 (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B是A 的子集，故a+2<3,解得a<1.所以a的取值范围是{a |a<1}. (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则 B是 A的真子集，故a+2<3,解得a<1.所以a的取值范围 是{a|a<1}. (3)若“x∈CA”是“x∈B”成立的充分条件，则[gA是B 的子集，易知CA={x|a≤x≤a+2},所以a≥3.所以a 的取值范围是{a|a≥3}. (4)若“x∈UgA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则 [gA是B的真子集.因为[A={x|a≤x≤a+2},所以 a≥3.所以a的取值范围是{a|a≥3}. 9.解 (1)当a=1时，A={x|-1<x<3},又B={x |o<x<7},所以AUB=(x|-1<x<7}. (2)因为x∈A是x∈B的充分条件，所以ACB.当A= 时，a-2≥2a+1,即a≤-3,满足ACB; 当 A≠时，a>-3, ,解得2≤a≤3.由AB可得 综上，实数a的取值范围为{a|2≤a≤3或a≤-3}. 10.解 (1)∵A={x|l≤x≤5}, ∴CA={x|x<1或x>5}. 当a=3时，B={x|-1≤x≤7}, (CA)∩B={x|-1≤x<1或5<x≤7}. (2)“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件等价于非空集 合B={x|2-a≤x<1+2a}是集合A={x|1≤x≤5} 的真子集，易知2-a≤1+2a, 1+22即a≥子，有{ 且等号不能同时取到， 解得a≤1. {a|÷<a≤1}.故a的取值范围为 11.解(1)当a=3时，A={x|2≤x≤7},因为B={x |-2≤x≤4},所以A∩B={x|2≤x≤4},则[(A∩ B)={x|x<2或 x>4}. (2)若选①:由AUB=B,得ACB. 当A=时，则a-1>2a+1,即a<-2,满足A≤B,则 a<-2; 12+12当 A≠0时，a≥-2,由AB,得 解得-l≤a≤言. {a|a<-2或-l≤a<号}.综上，a的取值范围是 若选②:由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得 A 是B的真子集. 当 A=时，则a-1>2a+1,即a<-2,满足A至B,则 a<—2: 12+724当 A≠时，a≥-2,由A至B,得 且等号 不能同时取到，解得-1<a≤号. {a|a<-2或-l<a<号}.综上，a的取值范围是 若选③:由A∩B=,得当A=时，则a-1>2a+1, 即a<-2,满足A∩B=0,则a<-2; 当 A≠O时，a≥-2,由A∩B=,得2a+1<-2或a -1>4,解得a<一意或a>5. 又a≥-2,所以-2≤a<-3或a>5. {a|a<-2或a>5).综上，a的取值范围是 章末优化提升 考点聚焦 考点一 [例1](1)C因为x∈Z,所以当x=0时，由|x|+|y|≤ 1,y∈Z可得y=0,±1; 当x=1时，由|x|+|y|≤1,y∈Z可得y=0; 当x=-1时，由|x|+|y|≤1,y∈Z可得y=0, 当x∈Z,|x|>1时，由|x|+|y|≤1,y∈Z可知不存在 整数 y使该不等式成立，所以 A={(0,0),(0,1), (0,-1),(1,0),(-1,0)}, 因此 A中元素的个数为 5.故选 C. (2)[解析] 由题意知，x-2=-3或 2x2+5x=-3. ①当x-2=-3时，x=-1. 把x=-1代入，得集合的三个元素为一3,—3,12,不满 足集合中元素的互异性； ②当2x2+5x=-3时，x=一言或x=-1(含去),当x =-言时，集合的三个元素为一子，-3,12,满足集合中 元素的互异性，由①②知x=一号. -2[答案] 7