第一章集合与常用逻辑用语章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第一册 章末优化提升 网络构建 元素特性 确定性 互异性 无序性 列举法 表示方法 描述法 集合 关系 包含关 真子集 相等 运算 交集 补住 是q的充分条件 P≥9 充分条件、必要条件、 常用逻辑用语 是g的必要条件 q→p 充要条件 是q的充要条件 P? 全称量词 v 全称量词命题 全称量词(存在量词) 命题的否定存在量词3 存在量词命题 考点聚焦 考点一集合的基本概念 [例1](1)设集合A={(x,y)||x|+|yl≤1,x∈Z,y ∈Z},则 A中元素的个数为 () A.3 B.4 C.5 D.6 (2)若-3∈{x-2,2x2+5x,12},则x=. Ⅱ规律方法|Ⅱ 解决集合的概念问题应关注的两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意 弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有参数的集合，在求出参数的值后，要注 意检验集合中的元素是否满足互异性. 规律方法Ⅱ 利用集合之间的关系求参数的解题策略 (1)由包含关系确定集合中所含参数的值(取值范 围)是集合间关系的重要应用，一般可借助数轴解决此 类问题. (2)需要注意对最后结果的验证：①分类讨论求得 的参数值，还需要代入原集合中看是否满足集合元素的 互异性；②注意所求参数能否取到端点值. (3)勿忘空集. ?跟踪训练 2.已知集合A={x|-3≤x<2},B={x|2k-1≤x ≤2k+1},且 B∈A,求实数k的取值范围. ?跟踪训练 1.已知集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,则实 数 m为 () A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可 考点二集合间的基本关系 [例2] 已知集合M={xl-1<x<2},N={x|x< a},若 M≤N,则实数a的取值范围是() A.{a\a>2 B.{a|a≥2) C.{a|a<2} D.{a|a≥-1} 20 第一章 集合与常用逻辑用语 考点三集合的基本运算 [例3](1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A= {-1,0,1},B={1,2},则C(AUB)等于() A.{-2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3} (2)已知全集U=R,A={x|-1<x<1}, B={y|y>0},则A∩([B)等于 () A.{x|-1<x<0} B.{x|-1<x≤0} C.{x|0<x<1} D.{x|0≤x<1} 规律方法||⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 集合运算过程中应力求做到“三化” (1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点 集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变 量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集. (2)具体化：其次具体求出相关集合中函数的自变 量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求 出的，也应力求将相关集合转化为最简形式. (3)直观化：最后借助数轴、平面直角坐标系、Venn 图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思 想解决问题. 跟踪训练 3.(1)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}. 若A∩B={1},则B等于 () A.{1,-3}B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} (2)已知集合P={x|1<x<4},Q={x|2<x< 3},则 P∩Q等于 () A.{x|1<x≤2} B.{x|2<x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|1<x<4} 考点四充分条件与必要条件的判定及应用 [例4]已知集合A={x|-1<x<3},集合B={x l-1<x<m+1}. (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条 件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m 的值. 规律方法Ⅱ 根据一个条件是另一个条件的充分条件、必要条件 或充要条件确定某个参数的取值范围时，首先弄清楚条 件和结论，再利用集合间的包含关系进行讨论.若A= {x|x满足条件甲},B={x|x满足条件乙},当ACB 时，甲为乙的充分条件；当 BCA时，甲为乙的必要条 件；当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件. 口跟踪训练 4.(1)已知集合A={x|-4≤x≤4,x∈R},B={x| x<a},则“a>5”是“A≤B”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的 一个充分不必要条件是 () A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≥2 考点五全称量词命题与存在量词命题 [例5](1)命题“Vx∈R,x2-3x+2≥0”的否定是 () A.3x∈R,x2-3x+2≤0 B.3x∈R,x2-3x+2≥0 C.3x∈R,x2-3x+2<0 D.Vx∈R,x2-3x+2<0 (2)若命题p:3x∈R,x2+2x-m-1=0是真命 题，则实数m的取值范围是 () A.m>-2 B.m≥-2 C.m<-2 D.m≤-2 ⋯规律方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 全称量词与存在量词的否定方法 全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量 词命题的否定一定是全称量词命题.首先改变量词，把 全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然 后把判断词加以否定. ?跟踪训练 5.已知命题p:Vx∈R,不等式x2+4x-3>m恒成 立，求实数 m的取值范围. 提示 请完成《素能提升训练》章末检测卷一 21 由①③,得a?=a?, 由①④,得a?=—a?· 由②③,得a?=—a?, 由②④,得a?=a?, 都与假设矛盾，所以假设不成立. 故当n=5时，集合A一定不是“和谐集”。 题型三 6.解析 ①ab=0?a=0或b=0,即a,b至少有一个为0; ②a+b=0?a,b互为相反数，则a,b可能均为0,也可能 为一正一负； (6=0;③a(a2+b2)=0=a=0或 ①ub>0=(6>0,|0<0:则a,b都不为 0. 故(1)“a,b都为0”的必要条件是①②③; (2)“a,b都不为0”的充分条件是④; (3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是①. 答案 (1)①②③ (2)④ (3)① 7.证明 ①必要性：因为a+b=1.所以a+b-1=0. 所以 a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2- ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. ②充分性：因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0, 所以a≠0且b≠0. 因为a2-ab+b=(a-多)+2b>0. 所以a+b-1=0,即a+b=1. 综上可得，当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ ab-a2-b2=0. 题型四 8.解 (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B是A 的子集，故a+2<3,解得a<1.所以a的取值范围是{a |a<1}. (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则 B是 A的真子集，故a+2<3,解得a<1.所以a的取值范围 是{a|a<1}. (3)若“x∈CA”是“x∈B”成立的充分条件，则[gA是B 的子集，易知CA={x|a≤x≤a+2},所以a≥3.所以a 的取值范围是{a|a≥3}. (4)若“x∈UgA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则 [gA是B的真子集.因为[A={x|a≤x≤a+2},所以 a≥3.所以a的取值范围是{a|a≥3}. 9.解 (1)当a=1时，A={x|-1<x<3},又B={x |o<x<7},所以AUB=(x|-1<x<7}. (2)因为x∈A是x∈B的充分条件，所以ACB.当A= 时，a-2≥2a+1,即a≤-3,满足ACB; 当 A≠时，a>-3, ,解得2≤a≤3.由AB可得 综上，实数a的取值范围为{a|2≤a≤3或a≤-3}. 10.解 (1)∵A={x|l≤x≤5}, ∴CA={x|x<1或x>5}. 当a=3时，B={x|-1≤x≤7}, (CA)∩B={x|-1≤x<1或5<x≤7}. (2)“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件等价于非空集 合B={x|2-a≤x<1+2a}是集合A={x|1≤x≤5} 的真子集，易知2-a≤1+2a, 1+22即a≥子，有{ 且等号不能同时取到， 解得a≤1. {a|÷<a≤1}.故a的取值范围为 11.解(1)当a=3时，A={x|2≤x≤7},因为B={x |-2≤x≤4},所以A∩B={x|2≤x≤4},则[(A∩ B)={x|x<2或 x>4}. (2)若选①:由AUB=B,得ACB. 当A=时，则a-1>2a+1,即a<-2,满足A≤B,则 a<-2; 12+12当 A≠0时，a≥-2,由AB,得 解得-l≤a≤言. {a|a<-2或-l≤a<号}.综上，a的取值范围是 若选②:由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得 A 是B的真子集. 当 A=时，则a-1>2a+1,即a<-2,满足A至B,则 a<—2: 12+724当 A≠时，a≥-2,由A至B,得 且等号 不能同时取到，解得-1<a≤号. {a|a<-2或-l<a<号}.综上，a的取值范围是 若选③:由A∩B=,得当A=时，则a-1>2a+1, 即a<-2,满足A∩B=0,则a<-2; 当 A≠O时，a≥-2,由A∩B=,得2a+1<-2或a -1>4,解得a<一意或a>5. 又a≥-2,所以-2≤a<-3或a>5. {a|a<-2或a>5).综上，a的取值范围是 章末优化提升 考点聚焦 考点一 [例1](1)C因为x∈Z,所以当x=0时，由|x|+|y|≤ 1,y∈Z可得y=0,±1; 当x=1时，由|x|+|y|≤1,y∈Z可得y=0; 当x=-1时，由|x|+|y|≤1,y∈Z可得y=0, 当x∈Z,|x|>1时，由|x|+|y|≤1,y∈Z可知不存在 整数 y使该不等式成立，所以 A={(0,0),(0,1), (0,-1),(1,0),(-1,0)}, 因此 A中元素的个数为 5.故选 C. (2)[解析] 由题意知，x-2=-3或 2x2+5x=-3. ①当x-2=-3时，x=-1. 把x=-1代入，得集合的三个元素为一3,—3,12,不满 足集合中元素的互异性； ②当2x2+5x=-3时，x=一言或x=-1(含去),当x =-言时，集合的三个元素为一子，-3,12,满足集合中 元素的互异性，由①②知x=一号. -2[答案] 7 跟踪训练 1.B ∵2∈A,∴m=2或m2-3m+2=2. 若m=2,则m2-3m+2=0,A={0,2,0},这与集合中元 素的互异性矛盾，不合题意； 若m2-3m+2=2,则m=0或m=3. 当m=0时，A={0,0,2},不合题意. 当m=3时，A={0,2,3},符合题意. 综上，m=3. 考点二 [例2] B 依题意，由MCN得a≥2,即所求的实数a的 取值范围是{a|a≥2}. 跟踪训练 2.解 由于B=A,在数轴上表示A,B,如图， A B -3 2k-1 2k+1 2 (k≥-1, (2k-1≥-3, {<可得 解得.2k+1<2, 所以大的取值范围是(4|-l≤k<去}. 考点三 [例3](1)A 法一 由题意，得AUB={-1,0,1,2},所 以C(AUB)={-2,3},故选A. 法二因为2∈B,所以2∈AUB,所以24[(AUB), 故排除 BD;又O∈A,所以O∈AUB,所以O∈[(AU B),故排除 C,选 A. (2)B 因为B={y|y>0},又由全集U=R,所以CB= {y|y≤0},则A∩(lB)={x|-1<x≤0}.故选 B. 跟踪训练 3.(1)C 由A∩B={1}知1∈B,即1是方程x2-4x+m= 0的根，∴1-4+m=0,即m=3.解方程 x2-4x+3=0 得x?=1或x?=3.∴B={1,3). Q P (2)B 2 3 4 选 B. 考点四 [例4][解](1)由题A至B,所以m+1>3,即m>2. 所以实数m的取值范围为{m|m>2}. (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件，所以A=B. 所以m+1=3,即m=2.即实数m的值为2. 跟踪训练 4.(1)A A={x|-4≤x≤4,x∈R},所以A≤B?a>4,而 a>5→a>4,且a>4+a>5,所以“a>5”是“A≤B”的充 分不必要条件. (2)D“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的充要 条件为“(-2)2-4m≤0”,即“m≥1”,又“m≥2”是“m≥ 1”的充分不必要条件，即“方程 x2-2x+m=0至多有一 个实数解”的一个充分不必要条件是“m≥2”,故选 D. 考点五 [例5](1)C∵命题“Vx∈R,x2-3x+2≥0”为全称量 词命题，∴命题的否定为：3x∈R,x2-3x+2<0.故 选 C. (2)B 由题意，得方程x2+2x-m-1=0有实根，所以 △=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.故选 B. 跟踪训练 5.解 令y=x2+4x-3,x∈R,则y=(x+2)2-7≥-7. 因为Vx∈R,不等式x2+4x-3>m恒成立， 所以 m<-7, 所以实数m的取值范围是{m|m<-7}. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 【自主学习探新知】 知识点一 1.不等号的式子 2.> ≥ ≤ 知识点二 1.> = <2.> 知识点三 ≥ a=b 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件， 加工(15-3)天共加工12x个零件， 15天里共加工(3×24+12x)个零件，则 3×24+12x >408. 故不等关系表示为72+12x>408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18 m, 所以 0<x≤18, 30一=(15-茎)(m)这时菜园的另一条边长为： 因此菜因面积S=x(15-詈), 依题意有S≥110,即x(15-号)≥110, 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 (0<x≤18, {x(15-告)≥110. 跟踪训练 +201.D 由题意可得 故选 D. 探究二 [例2] [解] 法一 (作差法) (方+分)-(G+√D)=(苏-√6)+(右-√a) -“-0 -A6-6m+ ∵a,b为正实数，∴√a+√b>0,√ab>0,(√a-√b)2≥0, :MG-6/m+≥0 当且仅当a=b时，等号成立. ∴后+分>a+6(当且仅当a=b时，取等号)。 法二 (作商法) 亚( √a+√b√ab(√i -A+元=+ -Cā-0+-1+Sā->1. 8