9.3实系数一元二次方程（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 9章 复数 9.3实系数一元二次方程 学习目标 1.理解判别式的作用，掌握复数范围内一元二次方程的解法.（重点） 2.掌握复数范围内一元二次方程根与系数的关系.（难点） 3.复数范围内二次三项式因式分解（难点） 在初中课程中已学过了实系数一元二次方程，它具有标准形式 我们已经知道可用判别式来判定这个方程实根的存在性．具体地说，在实数范围内考虑： （１）当Δ＞０时，该方程有两个不相等的实根 （２）当Δ＝０时，该方程有两个相等的实根（二重根） （３）当Δ＜０时，该方程没有实根 问题导入 我们现在再来讨论实系数一元二次方程的求根问题，但将根的取值范围从实数拓广到复数．也就是说，我们不仅要讨论实根，还要讨论虚根．我们要解决的问题实际上有两个： （Ａ）当Δ≥０时，除了已经找到的实根外，方程在复数范围还有其他的根吗？ （Ｂ）当Δ＜０时，方程在复数范围有根吗？怎样求出它的根？ 回答这两个问题，关键是对Δ（它是一个实数）在复数范围的平方根问题有个准确的把握。 例１ 在复数范围求25与－25的平方根． 解 因为25＞０，它在复数范围的平方根与实数范围的平方根是一样的，都是±５；因为－２５＜０，它没有实平方根，而在复数范围其平方根是 1 实数的平方根 它们是两个共轭的纯虚数． 新知探究 课本例题 我们在复数范围内考虑当时, 实系数一元二次方程的解法: 即 由于，故有 所以实系数一元二次方程 在复数范围内的两个解为 显然, 这两个解是一对共轭复数. 方程可变形为 ２ 实系数一元二次方程 例２ 在复数范围内解方程： 解 该方程的判别式Δ＝ －４×２×５＝－２４＜０， 所以此方程有一对共轭虚根 练习 1 在复数范围内解方程 解 因为,所以 . 课本例题 巩固练习 根与系数的关系（韦达定理） 例３ 如果p、q 都是实数，而关于x的方程有一个根，求p、q的值． 解 方程有一个虚根－２＋３ｉ，则它的另一个根必为其共轭复数－２－３ｉ．由根与系数的关系， 有 从而 课本例题 练习 2 已知实系数一元二次方程 的一个解是, 求 的值 解 解得 巩固练习 概念形成 在复数范围内将实系数一元二次方程的解的情况列表讨论 实系数一元二次方程的解 有两个不等实数根 有两个相等等实数根 有两个共轭复数根 复数范围内二次三项式因式分解 因式分解步骤： 1.求解一元二次方程的两个根 2.可因式分解为 例４ 在复数范围将 分解因式． 解 例２中已经求出方程的两个根 所以 课本例题 练习 3 在复数范围内分解因式 解 先求复数范围内实系数一元二次方程的两个根 . 因为,所以 巩固练习 １．已知k是一个实常数，而关于x的一元二次方程 有两个虚根．求k的取值范围． 　　 　 ２．在复数范围内解方程： ３．若 是方程的两个根，求的值． 课本练习 1.若 i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则( ____ ) A.b=2，c=3 B.b=2，c=-1 C.b=-2，c=-1 D.b=-2，c=3 【解析】解：由题意1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0 ∴1+2 i-2+b+ bi+c=0，即 D ∴ ，解得b=-2，c=3 故选：D． 随堂检测 16 2.若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则( ____ ) A.b=2，c=3 B.b=-2，c=3 C.b=-2，c=-1 D.b=2，c=-1 【解析】解：由题意1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0 ∴1+2 i-2+b+ bi+c=0 ∴ ，解得b=-2，c=3 故选：B． B 17 3.在复数范围内，方程x2-2x+2=0的两个根是 _____ ． 【解析】解：根据题意，：Δ=(-2)2-4×1×2=-4 所以原方程的根为：x= =1±i (i是虚数单位) 整理，得x1=1+i,x2=1-i 故答案为：1±i 1±i 18 4.若3+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则c= ____ ． 【解析】解：3+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根， 则3-i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的另一个复数根， 故c=(3+i)(3-i)=10． 故答案为：10． 10 19 5.若2i-3(i为虚数单位)是