精品解析：湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

雅礼教育集团2024年上期期中考试 高二数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. “”是“方程表示双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ） A. 65 B. 55 C. 45 D. 35 6. 有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ） A. 180种 B. 150种 C. 90种 D. 60种 7. 关于函数，下列说法正确的是（ ） ①有两个极值点 ②的图象关于原点对称 ③有三个零点 ④在上单调递减 A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③ 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若且，则； B. 若且，则； C. 若且，则； D. 若且，则. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数 C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数一个对称中心 11. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 若，则关于中心对称 D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，若与共线，则实数______． 13. 展开式中的系数为___________.（用数字作答） 14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设函数． （1）求函数的单调递增区间； （2），，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长． 16. 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0001 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数为定义在上的偶函数，且当时， （1）①作出函数在上的图象； ②若方程恰有6个不相等实根，求实数的取值范围； （2）对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值． 19. 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为. （1）现从三个班中随机抽取一位同学： （i）求该同学有购买意向的概率； （ii）如果该同学有购买意向