专题07 函数的单调性与最大(小)值-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题07 函数的单调性与最大(小)值（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 4 【考点1】确定函数的单调性(区间) 4 【考点2】求函数的最值 6 【考点3】函数单调性的应用 7 【分层检测】 8 【基础篇】 8 【能力篇】 10 【培优篇】 11 考试要求： 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点突破 【考点1】确定函数的单调性(区间) 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（    ） A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40% D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 4．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（    ） A．若，，则实数m的取值范围为 B．若，，则实数m的取值范围为 C．若，，则实数m的取值范围为 D．若，，则实数m的取值范围为 三、填空题 5．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，对于定义域内任意的x，y，都有，且在上单调递减，则不等式的解集为 . 6．（2023·北京密云·三模）设函数. ①当时，的单调递增区间为 ； ②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 . 反思提升： 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y