精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

雅礼教育集团2024年上学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18.5 3. 已知函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，角的对边为，且，，的面积为3，则 A B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 定义平面向量在上的投影为．若平面向量，满足，则在上的投影的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则最大值为3 11. 在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体.则在这个过程中，下列结论中正确的是（） A. 当时， B. 四面体体积的最大值为 C. 与平面所成的角可能为 D. 四面体的外接球的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为______． 13. 在中，，，为边的中线，为的中点，则______． 14. 在棱长为1的正方体中，点是该正方体表面及其内部的一个动点，且平面，则线段的长的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，函数. （1）求最小正周期； （2）当时，若，求的值. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时， （1）求的解析式； （2）令函数()，若，当时，总有成立，求实数的取值范围. 17. 在中，角，，所对的边分别，，．已知． （1）求； （2）若，，设为延长线上一点，且，求线段的长． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，于点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正切值． 19. 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如都是凸函数．Johan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数，均有成立，当且仅当时等号成立． （1）若函数为上的凸函数，求的取值范围： （2）在中，求的最小值； （3）若连续函数定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅礼教育集团2024年上学期期中考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知，解得，故，其虚部为， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题. 2. 某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步