(课时作业) 1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第17页] 1．(漳州一中月考)已知直线l过定点A(2，3，1)，n＝(0，1，1)为直线l的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝. 答案　A 2．已知三棱锥OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B． C． D．3 解析　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，∴＝(－1，2，0)，＝(0，－2，2)，取a＝＝(－1，2，0)，u＝＝.则点A到直线BC的距离为＝＝. 答案　B 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到平面AB1D1的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，∴＝(2，2，0)，＝(2，0，－4)，＝(0，0，4).设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥D1B1，n⊥D1A， ∴即 令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1). 故点A1到平面AB1D1的距离为d＝＝. 答案　C 4．(浙江绍兴高二期末)在空间直角坐标系中，A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　由已知得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0).设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则即取x＝1，则n＝(1，3，－4).又平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为d＝＝＝.故选A． 5．(徐州一中月考)如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则点P到平面BQD的距离为________. 解析　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，Q(0，0，1)，所以＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)，＝(0，0，1).设平面BQD的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝4，则y＝3，z＝12，所以取n＝(4，3，12).所以点P到平面BQD的距离d＝＝. 答案　 6．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 解析　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)， ＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 答案　 7．(重庆名校联盟月考)底面为矩形ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，四边形AEC1F为平行四边形． (1)求线段BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解　(1)因为四边形AEC1F为平行四边形，所以＝．设DF＝a．建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，4，0)，A(2，0，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，F(0，0，a).所以＝(－2，0，a)，＝(－2，0，2)，所以(－2，0，a)＝(－2，0，2)，所以a＝2，所以F(0，0，2).所以＝(－2，－4，2).所以||＝2，即线段BF的长为2. (2)易知C(0，4，0)，又C1(0，4，3)，A(2，0，0)，E(2，4，1)，所以＝(0，0，3)，＝(0，4，1). 设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1，则y＝－，z＝1， 所以n＝. 所以点C到平面AEC1F的距离d＝＝＝. 8．(河北部分名校高二期中)在三棱柱ABC­A1B1C1中，＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3)，＝，则该三棱柱的高为(　　) A． B． C．2 D．4 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝2，则x＝－，y＝3，所以n＝(－，3，2)是平面ABC的一个法向量．所以点A1到平面ABC的距离d＝＝，故该三棱柱的高为.故选B． 答案　B 9．(安徽六安中学高二期中)正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，则B1C1到平面A1BC的距离是(　　) A． B． C． D． 解析　设O，O1分别是AC，A1C1的中点，连接OO1，OB． 根据正三棱柱的几何性质可知OB，OC，OO1两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0， －1，2)，C1(0，1，2)， 则＝(，－1，0)， 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1，可得平面A1BC的一个法向量n＝(1，，). 由于B1C1∥BC，B1C1⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以B1C1∥平面A1BC．所以B1C1到平面A1BC的距离即点C1到平面A1BC的距离，即为＝＝.故选B． 答案　B 10．(多选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则点P到各顶点的距离的不同取值有(　　) A． B．2 C． D．3 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，则点A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)， A1(3，0，3)，B1(3，3，3)， C1(0，3，3)，D1(0，0，3)， 所以BD1＝(－3，－3，3). 设点P(x，y，z)， 因为＝BD1＝(－1，－1，1)， 所以＝＋＝(3，3，0)＋(－1，－1，1)＝(2，2，1). 所以P(2，2，1)， 所以PA＝PC＝PB1＝＝， PD＝PA1＝PC1＝＝3， PB＝，PD1＝＝2. 故点P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2，共4个． 答案　ABCD 11．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________． 解析　如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，所以＝(2，0，0)，＝(2，0，2)， ＝(2，2，0).设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. 答案　 12．如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________． 解析　以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则E，F， G，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)， ∴＝(－1，0，0)，＝，＝(1，0，0)， ∴∥. 又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH， ∴D1A1∥平面EFGH. ∴A1D1到平面EFGH的距离， 即为点D1到平面EFGH的距离． 设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1，6). 又∵＝， ∴点D1到平面EFGH的距离 d＝＝， ∴A1D1到平面EFGH的距离为. 答案　 13．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 解　(1)证明　如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz. 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0). ∴＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)， ∴·＝0， ·＝0＋4－4＝0， ∴B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又∵BD∩BA＝B，BD，BA⊂平面ABD， ∴B1D⊥平面ABD. (2)证明　由题意知E(0，0，3)，G，F(0，1，4). ∴＝，＝(0，1，1)， ∴·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0. ∴B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，∴B1D⊥平面EFG，结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD. (3)由(1)(2)知，＝(0，1，4)，＝(0，2，－2)是平面ABD的法向量， ∴点F到平面ABD的距离为 d＝＝＝. 由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， ∴两平面间的距离为. 14．如图，三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点． (1)求证：平面BAE⊥平面A1BD； (2)在线段B1B(含端点)上是否存在点M，使点M到平面A1BD的距离为？请说明理由． 解　(1)证明　取A1C1的中点O，连接B1O，OD，可得OA1，OD，OB1两两垂直．如图，以O为原点，OA1，OD，OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，2，0)，B(0，2，)，D(0，2，0)，A1(1，0，0)，E(－1，1，0)，＝(－1，2，0)，＝(－1，2，)，＝(1，0，－)，＝(－1，－1，－). 设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别为平面A1BD和平面BAE的法向量． 由得 取y1＝1，则x1＝2，z1＝0，所以n1＝(2，1，0)是平面A1BD的一个法向量． 由得 取z2＝1，则x2＝，y2＝－2，所以n2＝(，－2，1)是平面BAE的一个法向量． 因为n1·n2＝0，所以平面BAE⊥平面A1BD． (2)假设在线段B1B(含端点)上存在点M，使点M到平面A1BD的距离为. 设M(0，a，)(0≤a≤2)，则＝(0，a－2，0)， 由＝＝， 解得a＝4(舍去)或a＝0. 故在线段B1B(含端点)上存在点M，且点M与点B1重合时，点M到平面A1BD的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$