(课时作业) 1.1.1 空间向量及其线性运算-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第1页] 1．(河北石家庄高二月考)下列命题为真命题的是(　　) A．空间向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析　对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A为真命题；对于B，将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B为假命题；对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C为假命题；对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D为假命题．故选A． 答案　A 2．(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中不成立的是(　　) A．＋＋＋＝0 B．＋＋＋＝0 C．＋＋＋＝0 D．－＋＋＝0 解析　由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有＋＋＋＝0. 答案　ACD 3．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A．＋＝　 B．－＝ C．＝ D．||＝|| 解析　对于空间中的任意向量，都有＋＝，A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，B错误；＝，则A，B，C三点共线，C正确；||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，D错误． 答案　C 4．(湖北荆、荆、襄、宜四地七校高二期中联考)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC，BD相交于点O，M为OC1的中点，已知＝a，＝b，AA1＝c，则＝(　　) A．a＋b－c B．a－b－c C．－a－b＋c D．－a＋b－c 答案　C 5．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD．若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________. 解析　如图，取BC的中点F，连接DF，则＝，故＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0. 答案　0 6．在三棱锥A-BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则＋－－化简的结果为________． 解析　延长DE交边BC于点F，则有＋＝， ＋＝＋＝， 故＋－－＝0. 答案　0 7．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量． (1)； (2)； (3)＋． 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋＝a＋＋1 ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 又NC1＝＋CC1＝＋ ＝＋＝c＋a， ∴＋NC1＝＋ ＝a＋b＋c. 8．(浙江绍兴高二月考)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C．若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当x＝2，y＝－3，z＝2时，＝2－3＋2，则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理，知P，A，B，C四点共面．反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n(m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3，2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．故选B． 答案　B 9．(多选)(河北石家庄实验中学月考)在下列条件中，不能使M与A，B，C共面的是(　　) A．＝2－－ B．＝＋＋ C．＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 解析　空间四点A，P，B，M共面的充要条件是＝x＋y＋z，其中O为空间任一不与A，P，B，M重合的点，x＋y＋z＝1.对于A，因为2－1－1＝0≠1，所以A，B，C，M不共面；对于B，因为＋＋＝≠1，所以A，B，C，M不共面；对于C，＝－－，则由共面向量定理可知，，为共面向量，所以M与A，B，C一定共面；对于D，因为＋＋＋＝0，所以＝－－－，因为－1－1－1＝－3≠1，所以A，B，C，M不共面．故选ABD． 答案　ABD 10．在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点．若＝＋＋，则使G，M，N三点共线的x的值为(　　) A．1　　 B．2 C．　　 D． 解析　＝(＋)，＝，假设G，M，N三点共线，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)＝(＋)＋＝＋＋，与原式比较后可得 解得x＝1，λ＝，故选A． 答案　A 11．如图，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中． (1)化简：－－＋＋＋＝________； (2)化简：＋＋＋＋＝________． 解析　(1)－－＋＋＋ ＝＋＋＋＋＋＝＋＋0 ＝＋＝． (2)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＝0＋＝． 答案　(1)　(2) 12．有下列命题：①若∥，则A，B，C，D四点共线；②若∥，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的是________．(填序号) 解析　根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错误；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故③正确；易知④正确． 答案　②③④ 13．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)求证：A，E，C1，F四点共面； (2)已知＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 解　(1)证明　因为＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋. 又AC1，AE，AF有公共点A， 所以A，E，C1，F四点共面． (2)因为＝－＝＋－(＋) ＝＋－－ ＝－＋＋． 所以x＝－1，y＝1，z＝.所以x＋y＋z＝. 14．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m.若G，B，P，D四点共面，求m的值． 解　连接BD，BG.∵＝－，＝， ∴＝－.∵＝＋， ∴＝＋－＝－＋＋. ∵＝，∴＝， ∴＝(－＋＋)＝－＋＋. 又∵＝－， ∴＝－＋＋.∵＝m， ∴＝m＝－＋＋. ∵＝＋＝－＋， ∴＝＋＋. 又∵G，B，P，D四点共面，∴1－＝0，解得m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$