(课时作业) 1.1 第1课时 集合的含义-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第1页] 1．(杭州模拟)下列各对象可以组成集合的是(　　) A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校 2022—2023学年度第一学期全体高一学生 解析　组成集合的元素具有确定性，而选项A，B，C中的元素不具有确定性，不符合集合中元素的特征，故排除A，B，C，故选D. 答案　D 2．下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序实数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 解析　由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合．而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A. 答案　A 3．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(　　) A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A 解析　由于集合A中只含有一个元素a，由元素与集合的关系可知，a∈A，故选C. 答案　C 4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由题意可得集合M含有“冰、墩、雪、容、融”这5个元素，故选C. 答案　C 5．(江西宜春月考)下列说法中，正确的有________.(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合中元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC 不可能是等腰三角形； ③将小于 10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合． 解析　①不正确．单词book中有3个不同的字母，故元素个数是3. ②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，故以a，b，c为三边长的三角形不可能是等腰三角形． ③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，故集合是相同的． 答案　② 6．已知集合A中的元素x满足2x＋a＞0，且1∉A，则实数a的取值范围是________． 解析　∵1∉A，∴2＋a≤0，即a≤－2. 答案　a≤－2 7．已知集合A含有的三个元素分别是：a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求实数a的值． 解　若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中元素是1，0，1， 与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A中元素是2，1，3，符合题意； 当a＝－2时，A中元素是0，1，1， 与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去). 综上可知a＝0. 8．由实数x，－x，|x|，及－所组成的集合，最多含有(　　) A．2个元素 B．3个元素 C．4个元素 D．5个元素 解析　因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以集合中最多含有x，－x，共2个元素． 答案　A 9．(多选)集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．小于等于1 解析　因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，又t∈A，所以t＝0或t＝1. 答案　AB 10．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b，若集合A与集合B相等，则b－a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，∴＝－1，∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2. 答案　C 11．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． 解析　∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0，1，2. 答案　0，1，2 12．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素． 解析　解方程x2－5x＋6＝0，得x1＝2或x2＝3，解方程x2－x－2＝0，得x3＝2或x＝－1.由集合中元素的互异性知所求集合有－1，2，3这3个元素． 答案　3 13．已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M. (1)判断∈M是否正确，并说明理由； (2)证明：若x，y∈M，则xy∈M. 解　(1)∈M.理由如下： 由0∈M，1∈M及②知0－1＝－1∈M， 所以1－(－1)＝2∈M， 结合③知∈M. (2)证明　先证：若x∈M，则x2∈M. 若x∈M，又1∈M，由②知x－1∈M. 由③知，当x≠0时，∈M. 若x≠1，则∈M， 所以－＝∈M， 所以 x－x2∈M，所以x－(x－x2)＝x2∈M. 当x＝1时，此式也成立． 再证：若x，y∈M，则x＋y∈M. 由0∈M，得0－y＝－y∈M， 所以x－(－y)＝x＋y∈M， 所以＋＝∈M. 由③知∈M，所以(x＋y)2，x2，y2，，∈M，所以－＝xy∈M，结论得证． 14．已知集合A是由关于x的方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数根组成的集合． (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素． 解　(1)当A中有两个元素时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以a≠0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜1，且a≠0. (2)当A中没有元素时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0没有实数根，所以a≠0，且Δ＝4－4a＜0，解得a＞1. (3)当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有一个实数根或有两个相等的实数根． 当a＝0时，方程的根为x＝－； 当a≠0时， 令Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时x＝－1. 综上所述，当a＝0时，集合A中有且仅有一个元素－；当a＝1时，集合A中有且仅有一个元素－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$