第2章 章末优化提升（课件）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第二章　一元二次函数、方程和不等式 章末优化提升 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 考点一　不等式的性质及应用 [例1]　(1)若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋x＜b＋y B．ax＞by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x＜(a－b)y (2)已知x＜y＜z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　) A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞x|y| 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [解析]　(1)因为当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y. (2)因为x＜y＜z，且x＋y＋z＝0，所以x＜0，z＞0. 又y＜z，所以xy＞xz. [答案]　(1)C　(2)C 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1．给出下列命题：①若a>b，则a2>b2；②若a2>b2，则a>b；③若a>b，则 eq \f(b,a) ＜1；④若a>b，则 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) . 其中真命题个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 第二章　一元二次函数、方程和不等式 解析　对于①、②，由不等式的基本性质7，8可知①、②错误； 对于③，只有当a>0且a>b时， eq \f(b,a) <1才成立，故③错误； 对于④，当a>0，b<0时， eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) ，故④错误． 答案　A 第二章　一元二次函数、方程和不等式 考点二　利用基本不等式求最值问题 [例2]　(1)设a，b，c为正实数，且满足a－3b＋2c＝0，则 eq \f(b2,ac) 的最小值是________． (2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [解析]　(1)因为a，b，c为正实数，a－3b＋2c＝0，所以b＝ eq \f(a＋2c,3) .则 eq \f(b2,ac) ＝ eq \f(（a＋2c）2,9ac) ≥ eq \f(8ac,9ac) ＝ eq \f(8,9) ，当且仅当a＝2c，b＝ eq \f(4c,3) 时取等号，所以 eq \f(b2,ac) 的最小值是 eq \f(8,9) . (2)4＝(5x2＋y2)·4y2≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x2＋y2＋4y2,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(25,4) (x2＋y2)2，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2， 即y2＝ eq \f(1,2) ，x2＝ eq \f(3,10) 时取等号，故x2＋y2≥ eq \f(4,5) ，即x2＋y2的最小值为 eq \f(4,5) . [答案]　(1) eq \f(8,9) 　(2) eq \f(4,5) 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 2．函数y＝3x2＋ eq \f(6,x2＋1) 的最小值是(　　) A．3 eq \r(2) －3 B．3 C．6 eq \r(2) D．6 eq \r(2) －3 解析　y＝3(x2＋1)＋ eq \f(6,x2＋1) －3≥2 eq \r(3（x2＋1）·\f(6,x2＋1)) －3＝2 eq \r(18) －3＝6 eq \r(2) －3，当且仅当x2＝ eq \r(2) －1时，等号成立．故所求函救的最小值是6 eq \r(2) －3. 答案　D 第二章　一元二次函数、方程和不等式 考点三　利用基本不等式求解实际问题 [例3]　某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：m/s)、平均车长l(单位：m)的值有关，其公式为F＝ eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l) . (1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为__________辆/小时； (2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [解析]　(1)l＝6.05，则F＝ eq \f(76 000v,v2＋18v＋121) ＝ eq \f(76 000,v＋18＋\f(121,v)) ，由基本不等式v＋ eq \f(121,v) ≥2 eq \r(121) ＝22，得F≤ eq \f(76 000,22＋18) ＝1 900(辆/小时). (2)l＝5，F＝ eq \f(76 000v,v2＋18v＋100) ＝ eq \f(76 000,v＋18＋\f(100,v)) ，由基本不等式v＋ eq \f(100,v) ≥2 eq \r(100) ＝20，当且仅当v＝ eq \f(100,v) ，即v＝10时，等号成立，得F≤ eq \f(76 000,20＋18) ＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时). [答案]　(1)1 900　(2)100 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 3．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图1)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图1中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. (1)当x＝20时，求海报纸的面积； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可 使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 图1 第二章　一元二次函数、方程和不等式 解　(1)如图2，∵宣传栏(图2中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，直角梯形的高为20 cm， 图2 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ∴梯形长的底边EF＝1 440÷20÷2＝36(cm). ∵海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴AD＝20＋2×2＝24(cm)，DC＝36×2＋2×4＝80(cm)，故海报纸的面积为24×80＝1 920(cm2). 第二章　一元二次函数、方程和不等式 (2)∵直角梯形的高为x cm，宣传栏(图2中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2， ∴EF＝ eq \f(1 440,2x) ＝ eq \f(720,x) cm. ∵海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝(x＋4) cm，海报长DC＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1 440,x)＋8)) cm， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1 440,x)＋8)) ＝8x＋ eq \f(5 760,x) ＋ 1 472≥2 eq \r(8x·\f(5 760,x)) ＋1 472＝192 eq \r(5) ＋1 472， 第二章　一元二次函数、方程和不等式 当且仅当8x＝ eq \f(5 760,x) ，即x＝12 eq \r(5) 时取等号． 故当海报纸宽为(12 eq \r(5) ＋4) cm，长为(24 eq \r(5) ＋8) cm时，可使用纸量最少． 第二章　一元二次函数、方程和不等式 考点四　一元二次不等式及其应用 [例4]　(上海高一检测)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0. (1)若不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求实数k的值； (2)若不等式的解集为空集，求实数k的取值范围． [解]　(1)因为不等式的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}， 所以k＜0，且－3和－2是相应方程kx2－2x＋6k＝0的两个实数根， 所以－3＋(－2)＝ eq \f(2,k) ，解得k＝－ eq \f(2,5) . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 (2)当k＝0时，不等式kx2－2x＋6k＜0化为－2x＜0，即x＞0，不符合题意，因此k≠0. 则由不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)的解集为空集，知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＞0，,Δ＝4－24k2≤0，)) 解得k≥ eq \f(\r(6),6) . 综上可知，k的取值范围为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(k≥\f(\r(6),6))))) . 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 4．解关于x的不等式 eq \f(x－a,x－a2) ＜0(a∈R). 解　原不等式等价于(x－a)(x－a2)＜0. ①若a＝0，则a＝a2＝0，不等式化为x2＜0，解集为∅； ②若a＝1，则a＝a2＝1，不等式化为(x－1)2＜0，解集为∅； ③若0＜a＜1，则a2＜a，所以当a2＜x＜a时，(x－a)(x－a2)＜0，故原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ④若a＜0或a＞1，则a2＞a，所以当a＜x＜a2时，(x－a)(x－a2)＜0，故原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}． 综上所述，当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}． 第二章　一元二次函数、方程和不等式 考点五　与一元二次函数有关的恒成立问题 [例5]　若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是____________． 第二章　一元二次函数、方程和不等式 [解析]　令y＝8x2－(m－1)x＋m－7. ∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1， ∴由二次函数图象得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－1）2－32（m－7）≥0，,\f(m－1,16)＞1，,8×12－（m－1）＋m－7＞0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥25或m≤9，,m＞17，,m∈R.)) ∴m的取值范围是{m|m≥25}． [答案]　{m|m≥25} 第二章　一元二次函数、方程和不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 5．(苏州高一联考)“∀x＜0，x2＋ax＋2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为____________． 解析　由∀x＜0，x2＋ax＋2≥0，可得a≤－x－ eq \f(2,x) ， 令y＝－x－ eq \f(2,x) (x＜0)，则由题意知只需a≤ymin. 因为x＜0，所以－x＞0， 第二章　一元二次函数、方程和不等式 所以y＝－x－ eq \f(2,x) ＝(－x)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x))) ≥2 eq \r(（－x）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))) ＝2 eq \r(2) ， 当且仅当－x＝－ eq \f(2,x) ，即x＝－ eq \r(2) 时，等号成立，所以ymin＝2 eq \r(2) ，所以a≤2 eq \r(2) . 答案　{a|a≤2 eq \r(2) } $$