专题1 集合、充分必要条件的综合问题（课件）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第一章　集合与常用逻辑用语 专题1 集合、充分必要条件的综合问题 第一章　集合与常用逻辑用语 题型一　与集合有关的参数问题 1．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|2≤x≤6－m}，C＝{x|m－1≤x≤1＋2m}，U＝R. (1)若(∁UA)∩B＝∅，求m的取值范围； (2)若B∩C≠∅，求m的取值范围． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)∵A＝{x|2≤x≤8}， ∴∁UA＝{x|x<2或x>8}． ∵(∁UA)∩B＝∅，∴B⊆A. 当B＝∅时，6－m<2，解得m>4； 当B≠∅时， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－m≥2，,6－m≤8，)) 解得－2≤m≤4. 综上所述，m的取值范围是{m|m≥－2}． 第一章　集合与常用逻辑用语 (2)由题意知，若B≠∅，C≠∅，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－m≥2，,1＋2m≥m－1，)) 解得－2≤m≤4. 又∵B∩C≠∅，∴m－1≤6－m≤1＋2m或2≤1＋2m≤6－m，解得 eq \f(1,2) ≤m≤ eq \f(7,2) ， ∴当B∩C≠∅时，m的取值范围为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤m≤\f(7,2))))) . 第一章　集合与常用逻辑用语 2．已知集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2－a≤x≤2＋a)) }，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤1)) 或x≥4}，U＝R. (1)当a＝3时，求A∩B； (2)若a>0，A∩(∁RB)＝A，求实数a的取值范围． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)当a＝3时，A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤5)) }，又B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤1或x≥4)) }， ∴A∩B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1或4≤x≤5)) }． (2)若a>0，则A不为空集． ∵B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤1或x≥4)) }， ∴∁RB＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<4)) }． 由A∩(∁RB)＝A，得A⊆∁RB， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a＞1，,2＋a＜4，)) 解得a＜1，∴a的取值范围是{a eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1)) }． 第一章　集合与常用逻辑用语 3．(山东菏泽高一期末)已知集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<x)) <2m}，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－5或x>4)) }． (1)当m＝3时，求A∪(∁RB)； (2)在①A⊆∁RB；②A∩B＝∅；③A∩(∁RB)＝A这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解．若________，求实数m的取值范围． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)当m＝3时，A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3<x<6)) }， 因为B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－5或x>4)) }， 所以∁RB＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－5<x≤4)) }， 故A∪(∁RB)＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－5<x<6)) }． (2)若选①：当A＝∅时，m≥2m， 即当m≤0时，A⊆∁RB成立； 当A≠∅时，m>0， 第一章　集合与常用逻辑用语 由A⊆∁RB可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－5，,2m≤4，)) 解得－5≤m≤2，此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤2)) }． 若选②：当A＝∅时，m≥2m，即 当m≤0时，A∩B＝∅成立； 当A≠∅时，即m>0， 第一章　集合与常用逻辑用语 由A∩B＝∅可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－5，,2m≤4，)) 解得－5≤m≤2，此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤2)) }． 若选③：由A∩(∁RB)＝A可得A⊆∁RB. 当A＝∅时，m≥2m，即当m≤0时，A⊆∁RB成立； 当A≠∅时，即m>0. 第一章　集合与常用逻辑用语 由 A⊆∁RB可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－5，,2m≤4，)) 解得－5≤m≤2，此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤2)) }． 第一章　集合与常用逻辑用语 题型二　与集合有关的创新题型问题 4．(湖南长沙长郡中学高一上期中)若规定集合M＝{a1，a2，…，an}(n∈N*)的子集N＝{ai1，ai2，…，aim}(m∈N*)为M的第k个子集，其中，例如P＝{a1，a3}是M的第5个子集，则M的第25个子集是________． 解析　因为N＝{ai1，ai2，…，aim}(m∈N*)为M的第k个子集，且，25＝20＋23＋24＝21－1＋24－1＋25－1， 所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}． 答案　{a1，a4，a5} 第一章　集合与常用逻辑用语 5．(北京昌平高一上月考)对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)，若去掉其中任意一个元素ai(i＝1，2，…，n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，则称集合A为“和谐集”． (1)判断集合{1，2，3，4，5}是不是“和谐集”(不必写过程)； (2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”； (3)当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，求证：集合A不是“和谐集”． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”． (2)集合{1，3，5，7，9，11，13}为“和谐集”． 证明如下： ∵3＋5＋7＋9＝11＋13. 1＋9＋13＝5＋7＋11， 9＋13＝1＋3＋7＋11， 1＋9＋11＝3＋5＋13， 第一章　集合与常用逻辑用语 1＋3＋5＋11＝7＋13， 3＋7＋9＝1＋5＋13， 1＋3＋5＋9＝7＋11， ∴集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”． 第一章　集合与常用逻辑用语 (3)证明：假设集合A是“和谐集”．不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则集合{a1，a3，a4，a5}能分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有a1＋a5＝a3＋a4①，或a5＝a1＋a3＋a4②， 集合{a2，a3，a4，a5}也能分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有a2＋a5＝a3＋a4③，或a5＝a2＋a3＋a4④， 第一章　集合与常用逻辑用语 由①③，得a1＝a2， 由①④，得a1＝－a2， 由②③，得a1＝－a2， 由②④，得a1＝a2， 都与假设矛盾，所以假设不成立． 故当n＝5时，集合A一定不是“和谐集”． 第一章　集合与常用逻辑用语 题型三　充分条件、必要条件与充要条件的探究 与证明 6．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是________； (2)“a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________． 第一章　集合与常用逻辑用语 解析　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0；)) ④ab＞0⇔ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＞0，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b＜0，)) 则a，b都不为0. 故(1)“a，b都为0”的必要条件是①②③； (2)“a，b都不为0”的充分条件是④； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是①. 答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 第一章　集合与常用逻辑用语 7．(江苏镇江高一期中)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明　①必要性：因为a＋b＝1.所以a＋b－1＝0. 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. ②充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0， 所以a≠0且b≠0. 第一章　集合与常用逻辑用语 因为a2－ab＋b2＝(a－ eq \f(b,2) )2＋ eq \f(3,4) b2＞0. 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 第一章　集合与常用逻辑用语 题型四　与充分必要条件有关的参数问题 8．已知集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<a或x>a＋2)) }，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥3)) }． (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，求a的取值范围； (3)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分条件，求a的取值范围； (4)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求a的取值范围． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B是A的子集，故a＋2＜3，解得a＜1.所以a的取值范围是{a eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a＜1)) }． (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集，故a＋2<3，解得a<1.所以a的取值范围是{a eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a＜1)) }． (3)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分条件，则∁RA是B的子集，易知∁RA＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤a＋2)) }，所以a≥3.所以a的取值范围是{a eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥3)) }． (4)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则∁RA是B的真子集．因为∁RA＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤a＋2)) }，所以a≥3.所以a的取值范围是{a eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥3)) }． 第一章　集合与常用逻辑用语 9．(陕西西安高一期末)已知集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a－2<x<2a＋1)) }，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<7)) }． (1)若a＝1，求A∪B； (2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)当a＝1时，A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<3)) }，又B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<7)) }，所以A∪B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<7)) }． (2)因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B.当A＝∅时，a－2≥2a＋1，即a≤－3，满足A⊆B； 当A≠∅时，a>－3， 由A⊆B可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≥0，,2a＋1≤7，,a>－3，)) 解得2≤a≤3. 综上，实数a的取值范围为{a eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2≤a)) ≤3或a≤－3}． 第一章　集合与常用逻辑用语 10．设全集U＝R，集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1≤x≤5)) }，非空集合B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2－a≤x≤1＋2a)) }，a∈R. (1)若a＝3，求(∁UA)∩B； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)∵A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1≤x≤5)) }， ∴∁UA＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<1或x>5)) }． 当a＝3时，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤7)) }， (∁UA)∩B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x<1或5<x≤7)) }． 第一章　集合与常用逻辑用语 (2)“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件等价于非空集合B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2－a≤x<1＋2a)) }是集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1≤x≤5)) }的真子集，易知2－a≤1＋2a， 即a≥ eq \f(1,3) ，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a≥1，,1＋2a≤5，)) 且等号不能同时取到，解得a≤1. 故a的取值范围为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤a≤1)))) . 第一章　集合与常用逻辑用语 11．已知集合A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a－1≤x≤2a＋1)) }，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2≤)) x≤4}．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并求解下列问题． (1)当a＝3时，求∁R(A∩B)； (2)若________，求实数a的取值范围． 第一章　集合与常用逻辑用语 解　(1)当a＝3时，A＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2≤x≤7)) }，因为B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤4)) }，所以A∩B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2≤x≤4)) }，则∁R(A∩B)＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<2或x>4)) }． (2)若选①：由A∪B＝B，得A⊆B. 当A＝∅时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足A⊆B，则a<－2； 当A≠∅时，a≥－2，由A⊆B，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1≥－2，,2a＋1≤4，)) 解得－1≤a≤ eq \f(3,2) . 第一章　集合与常用逻辑用语 综上，a的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<－2或－1≤a≤\f(3,2))))) . 若选②：由 “x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A是B的真子集． 当A＝∅时，则a－1>2a＋1，即a<－2，满足AB，则a<－2； 当A≠∅时，a≥－2，由AB，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1≥－2，,2a＋1≤4，)) 且等号不能同时取到，解得－1≤a≤ eq \f(3,2) . 第一章　集合与常用逻辑用语 综上，a的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<－2或－1≤a≤\f(3,2))))) . 若选③：由A∩B＝∅，得当A＝∅时，则a－1>2a＋1， 即a<－2，满足A∩B＝∅，则a<－2； 当A≠∅时，a≥－2，由A∩B＝∅，得2a＋1<－2或a－1>4，解得a<－ eq \f(3,2) 或a>5. 又a≥－2，所以－2≤a<－ eq \f(3,2) 或a>5. 综上，a的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<－\f(3,2)或a>5)))) . $$