2024年中考数学压轴专题复习讲义-06二次函数背景下的线段专题

九年级专题复习讲义 主题:06二次函数背景下的线段专题 我爱数学,学习使我快乐 类型一 线段相等(通常与其他知识点结合考,最基础的利用两点间距离公式) 1、利用两点间距离公式/勾股定理(常见于24题第二问) 2、利用线段相等转换为相似、解三角形、构造A字或X字、特殊四边形(常见于24第三问) 类型二 线段和差倍半问题 根据线段成倍关系,直接利用两点间距离公式列等式 2、根据线段比,作平行线构造A/X型或者相似 类型三 线段最值: 1、列出线段长度的函数—利用二次函数求最值 题型一:利用线段相等,转化为讨论特殊四边形存在性问题 【例1】如图,在直角坐标平面中,直线分别与x轴、y轴交于A、B两点,抛物线经过A、B两点,点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)抛物线与x轴的另一个交点为C,点在抛物线对称轴左侧的图象上,将抛物线向上平移m个单位(),使点M落在内,求m的取值范围; (3)对称轴与直线交于点E,P是线段AB上的一个动点(P不与E重合),过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q,当时,求点Q的坐标. 【变式1】在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点A(5, 0),顶点为点B,对称轴为直线,且对称轴与x轴交于点C.直线经过点A,与线段BC交于点E. (1)求抛物线的表达式; (2)联结BO、EO.当 BOE的面积为3 时,求直线的表达式; (3)在(2)的条件下,设点D为y轴上的一点,联结BD、AD.当BD = EO时,求∠DAO的余切值. x y O (第24题图) 利用线段相等构造平行或X形相似 【例2】已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点P是该抛物线在第一象限内一点,联结AP、BC,AP与线段BC相交于点F. (1)求抛物线的表达式; (2)设抛物线的对称轴与线段BC交于点E,如果点F与点E重合,求点P的坐标; (3)过点P作PG⊥x轴,垂足为点G,PG与线段BC交于点H,如果PF=PH,求线段PH的长度.O x y 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -3 第24题图 题型二:利用线段成倍,直接利用两点间距离公式列等式 【例3】如图11,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D. (1)求该抛物线的表达式的顶点D的坐标; (2)将抛物线沿y轴上下平移,平移后所得新抛物线顶点为M,点C的对应点为E. ①如果点M落在线段BC上,求∠DBE的度数; ②设直线ME与x轴正半轴交于点P,与线段BC交于点Q,当PE=2PQ时,求平移后新抛物线的表达式. ( C 图 11 A ) 【变式2】已知抛物线经过点A(0,1)和B(1,4),顶点为点P,抛物线的对称轴与轴相交于点Q. (1)求抛物线的解析式; (2)求∠PAQ的度数; (3)把抛物线向上或者向下平移,点B平移到点C的位置,如果BQ=CP,求平移后的抛物线解析式. 根据线段比,作平行线构造A/X型或者相似 【例4】如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=2x+8与x轴交于点A、 与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B. (1)求抛物线的表达式; (2)P是抛物线上一点,且位于直线AB上方,过点P作PM∥y轴、PN∥x轴,分别交直线AB于点M、N. ①当MN=AB时,求点P的坐标; ②联结OP交AB于点C,当点C是MN的中点时,求的值. 【变式3】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点,对称轴是直线,顶点为点B,抛物线与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式和点B的坐标; (2)将上述抛物线向下平移1个单位,平移后的抛物线与轴正半轴交于点D,求的面积; (3)如果点P在原抛物线上,且在对称轴的右侧,联结BP交线段OA于点Q,,求点P的坐标. 1 y 1 x O 题型三:线段最值问题列出线段长度的函数—利用二次函数求最值 【例4】已知:二次函数的图像与轴交于点,点B(3,0),与y轴交点C. (1)求二次函数解析式; (2)设点E(t,0)为轴上一点,且AE=CE,求t的值; (3)若点P是直线BC上方抛物线上一动点,联结BC,过点P作,交BC于点Q,求线段PQ的最大值及此时点P的坐标. 1.在平面直角坐标系xOy中(如图7),已知经过点A(-3,0)的抛物线与y轴交于点C,点B与点A关于该抛物线的对称轴对称,D为该抛物线的顶点。 (1)直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标; (2)联结AD、DC、CB,求四边形ABCD的面积; (3)联结AC.如果点E在该抛物线上,过点E作x轴的垂线,垂足为H,线段 EH 交线段AC于点F,当EF=2FH时,求点E的坐标。 2.已知在平面直角坐标系xOy