6.3 利用导数解决实际问题（1知识点+4题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

6.3 利用导数解决实际问题 课程标准 学习目标 （1）了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用； （2）能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）. （1）1.通过导数的实际应用的学习，培养数学建模素养； （2）2.通过解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升逻辑推理、数学运算素养. 知识点01 导数在优化问题中的应用 1、最优化问题：生活中，经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题，这些问题通常称为最优化问题 2、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系D=f(x)，根据实际意义确定定义域 （2）求函数y=f(x)的导数f(x).解方程f(x)=0得出定义域内的实根，确定极值点； （3）比较函数在区间端点和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值 （4）还原到原实际问题中作答 【即学即练1】（22-23高二下·广东汕尾·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（    ） A． B． C． D． 【题型一：面积、体积最值问题】 例1．（23-24高二下·湖北·期中）已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高二下·广东广州·期中）用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则容器的容积最大时，扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）把一个周长为的长方形围成一个圆柱，当该圆柱的体积最大时，圆柱底面半径为（    ） A． B．1 C． D． 变式1-3．（23-24高二下·福建厦门·月考）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米． （1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； （2）求面积关于的函数解析式； （3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大．（结果精确到0.1米）（参考数据：，） 【方法技巧与总结】 面积、体积（容积）最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 【题型二：用料最省问题】 例2．（23-24高二下·河北石家庄·月考）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为 ． 变式2-1．（22-23高二下·广东东莞·月考）如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.设，则BE= （用含的代数式表示）此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米. 变式2-2．（23-24高二下·宁夏·月考）工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数． （1）写出关于的函数解析式，并确定的取值范围； （2）当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？（运用导数知识解决） 变式2-3．（23-24高二下·四川遂宁·月考）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数． （1）求； （2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值． 【方法技巧与总结】 1、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解