专题1.3 不等关系与不等式性质【六大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题1.3 不等关系与不等式性质【六大题型】 【新高考专用】 【题型1 不等式性质的应用】 2 【题型2 比较数（式）的大小】 3 【题型3 证明不等式】 3 【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 4 【题型5 不等式的综合问题】 5 【题型6 糖水不等式】 6 1、不等关系与不等式性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)等式性质 (2)比较两个数的大小 (3)理解不等式的性质，并能简单应用 2022年Ⅱ卷：第12题，5分 高考对不等式的性质的考查比较稳定，一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容. 【知识点1 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 不等式性质的应用】 【例1】（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2023·上海杨浦·一模）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·贵州遵义·模拟预测）已知均为实数，下列不等式恒成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2 比较数（式）的大小】 【例2】（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·北京东城·一模）已知，那么在下列不等式中，不成立的是 A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 证明不等式】 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【变式3-1】（22-23高一上·全国·课后作业）证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． 【变式3-2】（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 【变式3-3】（22-23高二下·湖北省直辖县级单位·期末）若，, （1）求证：； （2）求证：； （3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 【例4】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 不等式的综合问题】 【例5】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）解决下列问题： (