2024年九年级中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练--圆综合中推导特殊角专项训练（九）

2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练 圆综合中推导特殊角专项训练（九） 特殊角：30°，45°，60° 1．如图，已知等边 内接于⊙O，D为 的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E. （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AB的长为6，求CE的长. 2．如图，在⊙O中，直径AB＝24，点C、D在⊙O上，AB与CD交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为点H，DF交BA延长线于点F，∠CDF＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积． 3．已知：AB与⊙O相切于点B，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BC，BD． （1）如图1，求证：∠ABC＝∠ADB； （2）如图2，BE是⊙O的直径，EF是⊙O的弦，EF交OD于点G，并且∠A＝∠E，求证： ； （3）如图3，在（2）的条件下，点H在 上，连接EH，FH，DF，若DF＝ ，EH＝3 ，FH＝5 ，求AB的长． 4．如图， 为 的外接圆， ，点D是 上的动点，且点 分别位于 的两侧． （1）求 的半径； （2）当 时，求 的度数； （3）设 的中点为M，在点D的运动过程中，线段 是否存在最大值？若存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由． 5．已知：如图， 为 的直径，点 为 上一点， 的平分线与 交于点 ，与 交于点 .点 为 的延长线上一点，满足 . （1）求证： 与 相切； （2）若 ， ，求 的值. 6．已知 是 的直径，点 为 上一点，点 为 的内心， ． （1）如图1，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，求证： ； （2）如图2，点 为 的中点，连接 ， ，过点 作 于点 ，若 ，求 的长． 7．如图，是的角平分线，以点为圆心，为半径作交于点.当为切线时. （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分面积.（结果保留和根号） 8．如图， 为 的直径，弦 于E， ，交 的延长线于F， . （1）求证： 为 的切线； （2）若 ，求 、 、弧 围成的阴影部分的面积. 9．如图所示， 与 相切于点 ， 经过圆心 ，交 于点 、 ， 是 上不与 ， 重合的点， ． （1）求 的大小； （2）若 的半径为4，点 在 的延长线上，且 ，求证： 是 的切线． 10．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B． （1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小； （2）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小． 11．如图， 是半圆的直径，弦 ，过D点作圆O的切线 ，与 延长线相交于点E，连接 、 ， ． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）当 时，求围成阴影部分图形的周长． 12．如图，在 中， ， ， 是 的外接圆，连接 并延长交 于点 ，连接 ，点 是 的内心. （1）请用直尺和圆规作出点 ，证明 ； （2）求线段 长. 参考答案 1．【答案】（1）证明：如图连接OC、OB. ∵ 是等边三角形 ∴ ∵ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 与⊙O相切； （2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∴ ∵D为 的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 2．【答案】（1）连接OD， ∵∠FOD＝2∠B，∠CDF＝2∠B， ∴∠CDF＝∠FOD， ∵CE＝ED，AB为直径， ∴AB⊥CD， ∴∠CDO+∠FOD=90°， ∴∠CDF+∠CDO=90°， 即∠ODF=90°， ∴DF是⊙O的切线； （2）∵FD＝BD， ∴∠B＝∠F， ∵AB为直径，AB=24， ∴OD=12， ∵∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°， ∴∠B=∠F=30°，∠FOD=60°， ∵DO=BO， ∴∠B＝∠ODH=30°， 在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12， ∴OH=6，DH= ， ∴ ． 3．【答案】（1）证明：连接OB，如图1所示： ∵AB与⊙O相切于点B， ∴AB⊥OB， ∴∠OBA＝90°， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝∠OBA， ∴∠CBD﹣∠OBC＝∠OBA﹣∠OBC， 即∠OBD＝∠ABC， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB； （2）证明：∵∠A＋∠AOB＝90°，∠A＝∠E，∠EOG＝∠AOB， ∴∠E＋∠EOG＝90°， ∴∠EGO