专题10二次函数中面积的最值问题（六大题型）-2024年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

专题10二次函数中面积的最值问题（六大题型） 通用的解题思路： 二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型01 三角形面积最值问题 1．（2024·宁夏银川·一模）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C． (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线上方，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②设的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值． 2．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，抛物线（b，c 是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 3．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），交轴正半轴于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的横坐标． (3)平面上有两点，求的面积的最小值． 4．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）中，，，， 点 P从点C出发，沿射线方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点 B 出发，沿射线方向运动．设运动时间为x （且）秒， 的面积为S． (1)当时， 如图①， 求S与x的函数关系式； (2)当时， 如图②， 求S的最大值； (3)若在运动过程中，存在两个时刻，，对应的点P和点Q分别记为 ，和，对应的和的面积分别记为和，且当时，，请求出的值． 5．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．    (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由． 7．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，求的最大面积； (3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 9．（2024·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．    (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形? 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值． 10．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 11．（2024·安徽合肥·一模