专题09二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型）-2024年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

专题09 二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型） 通用的解题思路： 一、二次函数中的线段最值问题有三种形式: 1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意: ①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标; ②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。 2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 二、二次函数中的定值问题 一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用: 1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。 2.韦达定理法:当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。 题型 01 利用二次函数解决单线段的最值问题 1．（2024·河南·一模）如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值； (3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围． 2．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式； (2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值； (3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·湖北襄阳·一模）抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当时，求点P的坐标； (3)如图2，点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，过点P作直线轴，交直线BC于点Q． ①当时，求线段长度的最大值； ②记线段的长度为l，当时，求m的取值范围． 5．（2024·山西晋城·二模）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．P是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作轴于点D，交于点E，过点P作直线，交y轴于点F，交于点G，连接，过点C作于点H． (1)求二次函数的表达式，并直接写出直线的函数表达式． (