2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-06几何综合压轴之圆与直线的位置关系-T　

25题专题复习讲义 主题：06几何综合压轴之点与圆、直线与圆的位置关系 我爱数学，学习使我快乐 题型一：点与圆 【例1】【2021静安二模】如图，已知半圆O的直径AB=4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E． （1） 求证：AD∙AP=OD∙AC； （2） 设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3） 当点E在半圆P上时，求半圆P的半径． A B C D O E P （第25题图） 【答案】（1）联结PC，在半圆P与半圆O中， ∵ PC=PA，OD=OA，∴ ∠PCA=∠A=∠D． （2分）∴PC//OD．（1分） ∴．（1分）∴AD∙AP=OD∙AC．（1分） （2）在Rt△OPC中，OP =，. （1分） 在Rt△OAC中，AC=. （1分） ∵PC//OD，∴，（1分）∴，∴. （1分）定义域为1< x < 2. （1分） （3）∵CO⊥AB，AO=BO=2，∴BC= AC=, ∵PC//OD，∴，∴，∴． （1分） 过点P作PH⊥CE，垂足为H．∴， ∴． （1分） ∵．∴BH·CB=OB·BP, ∴， （1分） ，，． 其中不符合题意，所以半圆P的半径为． （1分） 【例2】【2017奉贤二模】已知：如图9，线段AB=4，以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C作CD//AB，且CD=PC，过点D作DE//PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q． （1） 若点P与点A重合，求BE的长； （2） 设PC= x，，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域； （3）当点Q在半圆O上时，求PC的长． 图9 A C P O B D E Q 备用图 A O B C 【答案】（1）∵点C为弧AB的中点，∴CO⊥AB．……………………………………………1分 ∵AB=4，∴AO=CO=2． ∵点P与点A重合，∴. ………………………………1分 ∴CD//AB，DE//PC，∴四边形PCDE是平行四边形．…………………………………1分 ∵CD=PC，∴平行四边形PCDE是菱形．………………………………………………1分 ∴PC=PE．∴BE=AB-PE=．…………………………………………………………………1分 （2）∵∠COE=∠PQE=90°，∠CEO=∠PEQ， ∴△COE∽△PQE.∴，∴．………………………………………………………1分 ∵PC= x，CO =2，∴在Rt△POC中，PO=． ∵，∴．∴．……………1分 由（1）可知，四边形PCDE是菱形，∴PD⊥CE，，． ∴．……………………1分∴．……………2分 （3）当点Q在半圆O上时，点P在OB上， 过点O作ON⊥CQ，垂足为点N，∴．……………………………………1分 ∵CQ=EQ，∴．………………1分∵PQ//ON，∴，∴. ……1分 整理得：，解得：（负数不合题意，舍去）.……………………1分 ∴当点Q在半圆O上时，． 【变式1】【2015杨浦二模】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE. （1） 当AE//BC（如图（1））时，求⊙O的半径长； （2） 设BO=x，AE=y，求y关于 x的函数关系式，并写出定义域； （3） 若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长。 A C B E O D 备用图 A B C 备用图 图（1） A B C D E O 【答案】（1）∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴BE=BD，∴∠EBA=∠DBA， ∵AE//BC，∴∠EAB=∠DBA，∴∠EAB=∠EBA，∴BE=AE，∴BD= AE， 又∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴AC//DE，∴AEDC为平行四边形，∴AE= DC，∴BD=DC=5，-------（2分） 作OH⊥BC于M，则BH=DH=BD=，∵，∴BO=，----------（2分） 即⊙O的半径长是 （2）联结AD，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴AB平分DE，∴AB是DE的中垂线，∴AD=AE=y， 作OH⊥BC于H，则BH=DH， 在Rt△BOH中，∵BO=x，，∴BH=，∴BD=，-----------------（1分） 作AM⊥BC于M，则得AM=，BM=，∴DM=，------------------------（1分） 在Rt△ADM中，，即，-----------------（1分） ∴（）---------------