专题05 二次函数与一元二次方程、不等式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 7 【考点1】一元二次不等式的求解 7 【考点2】三个二次之间的关系 11 【考点3】一元二次不等式恒成立问题 13 【分层检测】 18 【基础篇】 18 【能力篇】 24 【培优篇】 27 考试要求： 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为 (－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 4．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是 . 三、解答题 5．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 6．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 考点突破 【考点1】一元二次不等式的求解 一、单选题 1．（2021·上海徐汇·一模）已知，条件：，条件：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 4．（2023·广东深圳·模拟预测）下列命题中的真命题有（    ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．若关于的不等式的解集为，则 三、填空题 5．（2021·四川绵阳·模拟预测）若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为 6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为 ． 反思提升： 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式. (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 【考点2】三个二次之间的关系 一、单选题 1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二