精品解析：河南省焦作市博爱县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023—2024学年焦作市博爱一中高二年级（下）期中考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，则“”是“是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点是函数的一个对称点，则和的值可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四面体中，中点，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足，则点Z所在区域的面积（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过作的垂线，与y轴交于点P，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，、、，，点为线段上动点（包含端点），设直线与所成角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列中，有，类比上述性质，在等差数列中，有（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分. 9. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则点处的切线方程为 C. 存在点，使得 D. 面积的最小值为4 10. 若各项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 的展开式共有5项 B. C. 的展开式的常数项为40 D. 的展开式的第5项的系数为5 11. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线E：上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 的面积最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________. 13. 已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为______． 14. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如表所示.（残差＝观测值－预测值） 3 4 5 6 2.5 3 4 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数是增函数，对于任意都有． （1）证明是奇函数； （2）关于x不等式的解集中恰有3个正整数，求实数a的取值范围． 16. 已知在四棱锥中，平面，，，，点F为线段BC的中点，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 17. 为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的2×2列联表： 不满意 满意 总计 50周岁及以下 55 50周岁以上 15 总计 100 （1）根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？