精品解析：江苏省南菁高级中学实验班2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

南菁高中实验班2023-2024学年第二学期高一期中（数学）试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记数列的前项和为，若等差数列的首项为5，第4项为8，则（ ） A. 14 B. 23 C. 32 D. 140 2. 已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 3. 抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ） A. 1 B. C. 或 D. 或 4. 等差数列中，，，是数列的前项和，则（ ） A. B. 是中的最大项 C. 是中的最小项 D. 5. 已知数列满足，若，则的前2022项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 在平面直角坐标系中，已知为抛物线焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（ ） A B. 直线过点 C. 的面积最小值是 D. 与面积之和的最小值是 10. 大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆：的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列共有项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为______． 13. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足的面积为，，过点作的垂线交椭圆于，两点，则的周长为______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值并指明相应的值． 16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程． 17. 已知各项均为正数数列，其前项和为．数列为等差数列且满足，，数列满足，求解下列问题： （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数取值范围． 18. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为. （1）求双曲线标准方程； （2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：. （3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值. 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南菁高中实验班2023-2024学年第二学期高一期中（数学）试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记数列的前项和为，若等差数列的首项为5，第4项为8，则（ ） A. 14 B. 23 C. 32 D. 140 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出数列的通项，从而求出，再利用与的关系即可求得． 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 2. 已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（