精品解析：广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

南头中学2023～2024学年度第二学期期中考试 高一数学 命题人、审核人：高一数学备课组 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　） A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③是棱锥 D. ④不是棱柱 2. 在下列各组向量中，可以作为基底是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 复数则在复平面内，对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 8. “圆幂定理”是平面几何中关于圆一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 的取值范围是 D. 的最大值为12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列命题中的真命题是（ ） A. 若直线不在平面内，则 B. 若直线上有无数个点不在平面内，则 C. 若，则直线与平面内任何一条直线都没有公共点 D. 平行于同一平面的两直线可以相交 10. 如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 存在点E，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 11. 设内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则满足条件的三角形只有1个 B. 面积的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________. 13. 已知，且，i为虚数单位，则的最小值是______. 14. 在三棱锥中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为中点，则当的面积最大时，_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且． （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）记为，为，求的值． 16. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 17. 如图所示，直三棱柱中，，，，． （1）证明：平面； （2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使DE∥平面？证明你的结论． 18. 已知向量，，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）记函数，若的最小值为，求实数的值. 19. 在中，对应的边分别为， （1）求； （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）