专题04 基本不等式-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题04 基本不等式（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 2 【考点突破】 10 【考点1】利用基本不等式求最值 10 【考点2】基本不等式的综合应用 13 【考点3】基本不等式的实际应用 20 【分层检测】 27 【基础篇】 27 【能力篇】 33 【培优篇】 36 考试要求： 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在生活实际中的应用. 知识梳理 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 真题自测 一、单选题 1．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 4．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 5．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 7．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 8．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 考点突破 【考点1】利用基本不等式求最值 一、单选题 1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 3．（2023·江苏·一模）已知正数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（2023·山东烟台·三模）已知且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为4 三、填空题 5．（2023·辽宁大连·三模）已知，且，则的最小值为 . 6．（2020·天津滨海新·模拟预测）已知，则的最大值是 . 反思提升： 1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 【考点2】基本不等式的综合应用 一、单选题 1．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·河南商丘·期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·河北保定·二模）如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（    ）    A．的大小为 B．面积的最小值为 C．长度的最小值为 D．点到的距离可以是 4．（2021·全国·模拟预测）已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（    ） A．的最小值为2 B．面积的最大值为 C．直线的斜率为 D．为钝角 三、填空题 5．（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则