专题04 三角形的中位线与反证法重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题04 三角形的中位线与反证法重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 利用三角形中位线求线段长 题型二 利用三角形中位线求角度 题型三 三角形中位线与三角形面积问题 题型四 与三角形中位线有关的证明问题 题型五 三角形中位线的实际应用 题型六 三角形中位线的综合大题 题型七 反证法证明中的假设 题型八 用反证法证明命题 【知识梳理】 知识点1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 知识点03：反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. 【经典例题一 利用三角形中位线求线段长】 【例1】（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，中，，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）    A． B．1 C．2 D． 【变式训练】 1．如图，在四边形中，分别是的中点．若，，则的长是（    ）    A． B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是 ．          3．已知是的中线，取的中点E，过点A作，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，交于点O，过点O作，交的角平分线于点K，连接、，若，，，求的长． 【经典例题二 利用三角形中位线求角度】 【例2】（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，将沿它的中位线折叠后，点A落在点处，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在中，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点．连接、，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是高，，E，F分别为，的中点，若，则的度数为 （用含α的式子表示）．    3．（1）如图1，在四边形中，与相交于点O，，E，F分别是的中点，连接，分别交于点M，N，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点M，N，求证：． 【经典例题三 三角形中位线与三角形面积问题】 【例3】（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式训练】 1．如图，已知D、E分别是的边、的中点，是的中线，连接、、，若的面积为40，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．5 C．8 D．4 2．如图，是的中位线，F是的中点，的延长线交于点G，若的面积为，则的值为 ． 3．如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形的面积为，求的面积． 【经典例题四 与三角形中位线有关的证明问题】 【例4】（2023上·山东·九年级专题练习）如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【变式训练】 1．如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论中不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，于点，点，分别是， 的中点，连接，，，与交于点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是 ．（填写所以正确结论的序号） 3．如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． (1)求证：． (2)若，求的长； (3)点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 【经典例题五 三角形中位线的实际应用】 【例5】（2023下·河北衡水·九年级校考期中）数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形