专题4 球的切、接问题-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步课件 (人教A版2019)

数学 必修 第二册 RJA 1 0 专题4 球的切、接问题 刷难关 2 1.[课标全国Ⅲ文2017⋅9，5分] 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的 球面上，则该圆柱的体积为( ) B A. B. C. D. 解析 如图，依题意，球的半径 .因为圆柱的高 ，所以圆柱的底面半径 .故圆柱的体积 .故选B. 题型1 圆柱的外接球与内切球 3 2.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家．他发 现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ，且球的表面积也是圆柱表面积的 ”这一完美的结 论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 ，则该圆柱的内切球体积为( ) D A. B. C. D. 题型1 圆柱的外接球与内切球 4 解析 设圆柱的底面半径为 ，则其母线长 .因为圆柱的表面积公式 ，所以 ，解得 .因为圆柱的体积公式 ，所以 .由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ，所以所求圆柱内切球的体积 ，故选D. 题型1 圆柱的外接球与内切球 5 【规律方法】求解圆柱（其中 为圆柱的高， 为圆柱底面半径）的外接球问题时，作其轴截面， 则外接球半径 ；对于圆柱的内切球，即与圆柱的侧面和上下底面均相切时，内切 球半径 、圆柱的高 、圆柱的底面半径 满足 . 题型1 圆柱的外接球与内切球 6 3.已知底面半径为 的圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的外接球的体积为( ) A A. B. C. D. 解析 如图，设该圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ,该圆锥的外接球的半径为 ， 则 ，解得 ， .又 ，即 ，解得 该圆锥的外接球的体积 .故选A. 题型2 圆锥的外接球与内切球 7 4.[广东广州海珠外国语实验中学2022高一期中] 已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为 .若圆 锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为( ) D A. B. C. D. 题型2 圆锥的外接球与内切球 8 解析 由题可知，母线 ，若内部有一个球，半径最大时，球内切于圆锥，如图所示. 设 为内切球的球心， 为球 与母线 的切点， 为底面圆心，球 的半径为 ，底面圆 的半径为 ，因为圆锥侧面积为 ，所以 ，解得 .由勾股定理得 ，所以 .又因为 ，所以 ，解得 ，所以内切球的体积 .故选D. 题型2 圆锥的外接球与内切球 9 【规律方法】求圆锥的外接球问题时，作其轴截面，设其外接球半径为 ，构造直角三角形，利 用勾股定理求解，即 ， （其中 为圆锥的高， 为圆锥底面半径）. 求圆锥的内切球问题时，同样是作其轴截面，利用相似三角形求解. 题型2 圆锥的外接球与内切球 10 5.[河北衡水中学2023高一月考] 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角 形的直三棱柱.阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ， ，当阳马 的体积为 时，堑 堵 的外接球的体积的最小值为( ) B A. B. C. D. 题型3 棱柱的外接球与内切球 11 解析 根据题意，把堑堵 补形为长方体，则长方体的体对角线即为堑堵 的外接球的直径. 设 ， ，则阳马 的体积 ， ，则堑堵 补形成的长方体的体对角线长 ，当且仅当 时取等号， 即堑堵 的外接球的半径的最小值为 ， 堑堵 的外接球的体积的 最小值为 ，故选B． 【名师点拨】对于底面是直角三角形的直三棱柱求外接球时，一般将其补成长方体求解. 题型3 棱柱的外接球与内切球 12 6.[辽宁沈阳二中2023高一期末] 在正三棱柱 中，所有棱长之和为定值，当正三棱 柱外接球的表面积取得最小值 时，正三棱柱的侧面积为( ) D A.12 B.16 C.24 D.18 题型3 棱柱的外接球与内切球 13 解析 设正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则所有的棱长之和为 （ 为正实数），所以 . 设正三棱柱的外接球半径为 ，底面外接圆的半径为 . 由正弦定理得 ，解得 ，所以 .当 时， 取得最小值为 . 由正三棱柱外接球的表面积取得最小值 ，解得 . 所以 ， ， 所以正三棱柱 的侧面积为 ．故选D． 题型3 棱柱的外接球与内切球 14 【规律方法】直棱柱的外接球的球心为上、下底面外接圆圆心连线的中点，通过