2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练--圆综合中推导特殊角专项训练（六）

2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练 圆综合中推导特殊角专项训练（六） 特殊角：30°，45°，60° 1．如图，在中，与分别相切于点E，F，平分，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径是2，求图中阴影部分的面积． 2．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且． （1）求证：是的切线． （2）若，平分，求线段的长． 3．如图，等腰内接于，，直径，D是圆上一动点，连接，，，交于点G （1）求证： （2）若，求的面积 4．如图所示，是的直径，为的切线，D为上的一点，，延长交的延长线于点B，连接．若． （1）求证：AD为的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 5．如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接AD，过点B作直线交AC于E，交于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD． （1）求证：； （2）若，试探究与之间的数量关系，并证明． 6．如图，在半径为6的中，是直径.已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作.回答下列问题： （1）求证：点C是弧的三等分点. （2）求的长. 7．点A是矩形边上的点，以为直径的圆交于点D和点C，，连接． （1）求证：． （2）已知，求CD的长． 8．已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D． （1）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小； （2）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小． 9．如图，为圆O的直径，在直径的同侧的圆上有两点C，D，，弦平分交于点F. （1）已知，求的长：（结果保留π） （2）求证：. 10．如图，是的直径，点，在上，，交于点，． （1）求的度数； （2）若是的切线，与的延长线交于点，．直接写出图中阴影部分的面积． 11．如图，是⊙O的直径，，点E是射线上一点且，过点E作交射线于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）当与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求弧的长． 12．如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，连接CO，并延长CO与AB的延长线交于点D，与交于点F，连接AC． （1）求证：AC为的切线： （2）若半径为2，．求阴影部分的面积． 参考答案 1．【答案】（1）证明：连接，过点O作于点G，如图， ∵为的切线， ∴． ∵平分，， ∴． ∴直线经过半径的外端G，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：连接，过点O作于点G，如图， ∵与分别相切于点E，F， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ∴． ∵， ∴， ∴． 由（1）知：， ∴， ∵， ∴平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∴， ∴． ∴=10． 2．【答案】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴. ∴在中，， 根据勾股定理，得， ∴在中，． 3．【答案】（1）证明：由图可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接并延长交于点E， ∵直径， ∴在中由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的面积是． 4．【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ∵，， ， ， 为的切线， ， ， 为的切线； （2）解：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∴， ∴， 阴影部分的面积． 5．【答案】（1）证明：， ， ， ； （2）证明：与之间的数量关系为：． 理由如下： 作于点M，连接OC、DF、CF， ， ， 为CD中点， ， ， 于G， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， ，，， ，，， ， ， ， ， 即． 6．【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵是直径，点D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵是直径， ∴点C是弧的三等分点； （2）解：∵是直径， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. 7．【答案】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得， ∴． 8．【答案】（1）解：连接BO， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB， ∵∠AOP=65°， ∴∠APO=90°-65°=25°， ∴∠BPO=∠APO=25°， ∵∠AOP=∠BPO+∠C， ∴∠C=∠AOP-∠BPO=65°-25°=40°， （2）解：连接OB， ∵PA、P