精品解析：湖南省岳阳市2024届高三教学质量监测（三）数学试题

岳阳市2024届高三教学质量监测（三） 数学 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若虚数单位是关于的方程的一个根，则（ ） A B. 2 C. D. 5 3. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线上有无数个点不平面内，则 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 已知直线，，平面，且，则直线，平行 D. 已知两条相交直线，，且平面，则与相交 5. 已知奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ） A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 8. 已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. ，则 B. C. 的展开式的第6项的系数是 D. 的展开式中的系数为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 满足条件的最小正整数为2 11. 如图，四边形是圆柱的轴截面且面积为2，四边形绕逆时针旋转到四边形，则（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 当时， C. 当时，四面体的外接球表面积最小值为 D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为______． 13. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______． 14. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足：，且，，成等比数列． （1）求数列通项公式； （2）若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 16. 某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. （1）若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； （2）复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 17. 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且． （1）证明：平面； （2）点在直线上，求与平面所成角的最大值． 18. 已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线． （1）已知、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：； （2）若点、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值． 19. 已知的三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）． （1）求实数的取值范围； （2）设函数 ①当时，求函数的极小值； ②设是的