精品解析：天津市重点校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

天津市重点校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 出题学校:杨村一中 宝坻一中 第I卷(共36分) 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分) 1. 为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 一水平放置平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. D. 3. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 4. 已知向量满足，则（　　） A. 3 B. C 7 D. 5. 在中，角所对的边长分别为，若，，，则这样的三角形解的个数为 A. 1 B. 2 C. 0 D. 不确定 6. 在中，，是的中线，若，，则（ ） A. B. C D. 7. 冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在体积为15的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S﹣ABC的体积为3，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题(本题共5小题，每题5分，共25分) 10. 复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 11. 已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________. 12. 已知一个正三棱锥的侧棱长为3，其底面是边长为的等边三角形，则此正三棱锥的高为__________. 13. 如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱的体积为___________. 14. 如图，在中，与BE交于点，，则的值为__________；过点的直线分别交于点设，则的最小值为__________. 三、解答题（本题共5小题，共59分) 15. 设复数，其中为虚数单位，. （1）若是纯虚数，求实数的值; （2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围. 16. 在中，分别是角所对的边，. （1）求值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 平面内给出三个向量，求解下列问题: （1）求向量在向量方向上的投影向量的坐标; （2）设向量与向量夹角为，求值; （3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 如图，已知正方体的体积为8. （1）求正方体的表面积; （2）设上底面的中心为，求三棱锥的体积; （3）求三棱锥内切球(与所有面均相切的球)的半径. 19. 的内角的对边分别为已知. （1）若的周长等于3，求； （2）若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市重点校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题 出题学校:杨村一中 宝坻一中 第I卷(共36分) 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分) 1. 为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算即可. 详解】. 故选：A. 2. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 32 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直观图的面积，根据直观图面积与原图面积之间的关系即可求得答案. 【详解】由题意知平面图形的直观图恰好是一个边长为4的正方形，则其面积为16， 结合直观图面积与原图面积之间的关系， （这是因为斜二测画法中与y轴平行的线段变为原来的一半，因此直观图中高即为原来的倍） 可得原平面图形的面积为， 故选：C 3. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案. 【详解】因， 所以，由余弦定理有， 整理得，即，为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D 4. 已知向量满足，则（　　） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设条件