2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练--圆综合之正A型专项训练（七）

2024年中考数学三轮冲刺备考圆专题之模型训练 圆综合之正A型专项训练（七） 1．如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作． （1）求证：是⊙A的切线； （2）若，，求的长． 2．如图，AB是 的直径，AC是弦，D是 的中点，CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点，且 . （1）求证： 为 的切线； （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG.若 ， ，求AG的长. 3．如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 4．如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 5．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作交于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，且，求线段的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作，交BC于G，交DC于F． （1）求证：∠DCB＝∠DOF； （2）若，BC＝4，求OF的长． 7．如图，AB为的直径，C为上一点，过点C作的切线CE，过点B作于点D，交于点F，连接AF． （1）求证：； （2）若，的半径等于4.5，求DF的长。 8．如图，为的直径，C为延长线上一点，是的切线，D为切点，于点E，交于点F． （1）求证：． （2）若，，则的长　 　． 9．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：直线BC是⊙O的切线． （2）若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积． 10．如图，已知的边是⊙O的切线，切点为E，经过圆心O并与圆相交于点F，交于D，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 11．如图，在中，，，，点在上，连接，过点作的垂线交于点，连接，的外接圆交直线于点圆心为． （1）若平分； ①判断与的位置关系，并说明理由； ②求出此时图中阴影部分的面积； （2）若，求的直径． 12．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠ECD＝∠A； （2）若CE＝4，DE＝2，求AB的长． 参考答案 1．【答案】（1）证明：过点作于，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，且为的半径， 是的半径， 是的切线． （2）解：， ， ， ，， ， ， ，解得， 的长为． 2．【答案】（1）解：方法一：如图1，连接OC，OD. ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ 是 的直径，D是 的中点， ∴ . ∴ . ∴ ，即 . ∴ . ∴CF为 的切线. 方法二：如图2，连接OC，BC.设 . ∵AB是 的直径，D是 的中点， ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∵AB是 的直径， ∴ . ∴ . ∴ ，即 . ∴ . ∴CF为 的切线. （2）解：方法一：如图3，过G作 ，垂足为H. 设 的半径为r，则 . 在Rt△OCF中， ， 解之得 . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ . ∵G为BD中点， ∴ . ∴ ， . ∴ . ∴ . 方法二：如图4，连接AD.由方法一，得 . ∵AB是 的直径， ∴ . ∵ ，D是 的中点， ∴ . ∵G为BD中点， ∴ . ∴ . 3．【答案】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1， ∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝， ∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∵OF＝FC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵AE＝EB， ∴EF＝AB＝． （2）解：①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH． ∵∠FGA＝∠ABC＝90°， ∴FG∥BC， ∴△OFH∽△OCB， ∴＝＝， 同理＝， ∴FH＝OE， ∵OE⊥AB．FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴四边形OEHF是平行四边形， ∴PE＝PF． ②∵OE∥FG∥BC， ∴＝＝1， ∴EG＝GB， ∴EF＝FB， ∵DF＝EF， ∴DF＝BF， ∵DO＝OB， ∴FO⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°． 4．【答案】（1）证明：如下图，连接OD， ∵，， ∴，， ∴