精品解析：广东省广州市育才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题

广州市育才中学2023学年第二学期期中考试 高一级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题），总分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 已知，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10 2. 在△ABC中，已知，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，则与共线且反向的单位向量为 （ ） A B. C. 或 D. 4. 图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 5. 已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C D. 6. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 祖暅是我国南北朝时期伟大数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分，每小题6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 10. 设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是的重心 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若在所在的平面内，角所对的边分别是，满足以下条件，则 D. 若，且，则的面积是面积的 11. 如图，在长方体中，，E是棱上的一点，点F在棱上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，C，E，F四点共面，则 B. 存在点E，使得平面 C. 若，C，E，F四点共面，则四棱锥的体积为定值 D. 若，C，E，F四点共面，则四边形的面积为定值 三、填空题（每小题5分，共16分） 12. 若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 __________． 13. 湿地公园是国家湿地保护体系重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形区域建一处湿地公园．已知，，，，千米，则______千米． 14. 在中，，则______；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是______． 四、解答题（满分77分） 15. 已知：，，向量与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）若与垂直，求实数m的值． 16. 在中，内角所对的边分别为， （1）若，解三角形： （2）若角且的外接圆半径为． ①求的面积； ②求边上的高． 17. 材料1．《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下： 如图1，圆锥的底面直径和高均为a，过PO上一点作平行于底面的截面，以该截面为底的面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．我们称圆柱为圆锥的内接圆柱． 材料2：如图2，底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为R，高为H的内接圆柱．根据材料1与材料2完成下列问题． （1）求R与H的关系式； （2）求圆柱侧面积的最大值； （3）当高PO的长为，直径为的情况下，底面一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，点E在棱PC上． （1）若底面ABCD是边长为2的正方形，平面EBD，试确定点E的位置（图1），并说明理由； （2）若底面ABCD是梯形，且，点E是PC的中点（图2），证明平面PAD； （3）在（1）的条件下是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在、请求出具体值，若不存在，请说明理由； 19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ的长； （3）综合考虑到成