精品解析：上海民办南模中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市南模中学高一年级下学期 期中数学试卷 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知，则_______． 2. 函数的值域是______． 3. 已知，则_______________． 4. 若中，，则______. 5. 函数的部分图象如图所示，则______．    6. 已知a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边，若，则______. 7. 将函数图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是__________. 8. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为______． 9. 已知函数，若在上恒成立，则的取值范围为______． 10. 函数，关于函数的零点情况有下列说法： ①当取某些值时，无零点； ②当取某些值时，恰有1个零点； ③当取某些值时，恰有2个不同的零点； ④当取某些值时，恰有3个不同的零点. 则正确说法的全部序号为______. 11. 在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若O为的外心，，则实数______． 12. 如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（ ） A. 600平方步 B. 640平方步 C 660平方步 D. 700平方步 14. 已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，角所对的边分别为，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 16. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知角的终边经过点. （1）求的值； （2）求值. 18. 已知向量满足． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，转一周需要30min． （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值． 20. 将函数的图像进行如下变换：先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图像 （1）求的最小正周期及单调增区间 （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围 （3）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值 21. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”． （1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”； （2）求证：集合，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，并求此定值； （3）若集合，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市南模中学高一年级下学期 期中数学试卷 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围即可得解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故答案为：. 2. 函数值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用整体法求值域. 【详解】 ， 又