精品解析：广东省广州市育才中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

广州市育才中学2023学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题者：何尔雅 审核人：唐亚名 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷．（非选择题），总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 一、单进题：（每小题6分，共40分） 1. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足且，则（ ） A B. C. D. 1 3. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ） A. 36种 B. 45种 C. 48种 D. 72种 5. 一袋中有大小相同个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中，则（ ） A. 16 B. 32 C. 24 D. 48 7. 函数，若在上有最小值，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与的图象恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（每小题6分，共18分） 9. 已知二项式的展开式，则（ ） A. 常数项是512 B. 有理项（x的指数为整数的项）共有5项 C. 第4项和第5项的二项式系数相等 D. 展开式的二项式系数和为512 10. 已知函数的导函数的极值点同时也是的零点，则（ ） A B. 在R上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 过坐标原点只有两条直线与曲线相切 11. 给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ） A. 存在，使得恒成立 B. C. 对任意，总存在，使得 D. 对任意，总存在，使得 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12. 老师排练节目需要名男生和名女生，将这名学生随机排成一排，名女生不相邻的排法为__________. 13. 已知数列 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， 则 ________； 记 ， 若存在 使得 最大， 则 的值为________． 14. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________． 四、解答题，（5题，共77分） 15. 已知函数在和上为增函数，在上为减函数． （1）求的解析式； （2）求的极值． 16. 已知为数列的前n项和，是公差为1的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 17. 如图所示，在直四棱柱中，底面是菱形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值； 18. 已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求； （3）设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值． 19. 已知函数． （1）试讨论函数的单调性； （2）时，求在上最大值； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市育才中学2023学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题者：何尔雅 审核人：唐亚名 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷．（非选择题），总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 一、单进题：（每小题6分，共40分） 1. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到，即可求出，再由离心率公式求出，最后再求出长轴长. 【详解】因， 依题意可得， 所以， 则离心率，解得，则， 所以椭圆的长轴长为. 故选：B 2. 已知数列满足且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【详解】因为数列满足，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，则，解得. 故选：A. 3. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再由斜截式计算可得. 【详解】因为，所以， ， 所以， 即切点为，切线的斜率， 所以切线方程，即. 故选：C 4. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定