北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

2024北京清华附中高二月考试卷 数学 （清华附中高22级） 2024.4 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.在复平面内，复数，则等于（ ） A. B. C.2 D. 2.已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 3.已知函数满足，则等于（ ） A.3 B. C.0 D. 4.已知平面与平面间的距离为3，定点，设集合，则S表示的曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 5.已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6.已知直线恒过点，圆，则“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8.已知数列的前项和，下列判断中正确的是（ ） A. B.数列是单调递减数列 C.数列前项的乘积有最大值 D.数列前项的乘积有最小值 9.已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（ ） A. B. C. D. 10.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ） A.存在点平面 B.对任意点 C.存在点，使得与所成的角是 D.不存在点，使得与平面所成的角是 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知点是椭圆的两个焦点，横坐标为4的点在椭圆上，则的周长为___________. 12.古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验.下图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥，如图2所示，其侧面是边长为的等边三角形，，且平面底面，则该四棱锥的体积为___________. 13.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为___________. 14.已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为___________. 15.已知函数的定义域为，其最小值为2.点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.其中为坐标原点.给出下列四个结论： ①； ②不存在点，使得； ③的值恒为； ④四边形面积的最小值为. 其中，所有正确结论的序号是___________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 17.已知直线，圆. （1）若，求证：直线与圆相交； （2）已知直线与圆相交于，两点.若的面积为1，求的值. 18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.直线与椭圆交于两点，点不在直线l上，直线与交于点. （1）求椭圆的方程； （2）求直线的斜率. 20.已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求函数的定义域及单调区间； （3）求函数的零点的个数. 21.设是正整数，如果存在非负整数使得，则称是好数，否则称是坏数.例如：，所以2是好数. （1）分别判断是否为好数； （2）若是偶数且是好数，求证：是好数，且是好数； （3）求最少的坏数. 参考答案 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求复数，再结合复数的模长公式运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 2.【答案】C 【分析】由已知先求出，然后利用求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 3.【答案】D 【分析】根据三角函数的性质解方程得到，然后代入求即可. 【详解】因为，所以，整理得， 所以，解得， 因为，所以，， 所以. 故选：D. 4.【答案】B 【分析】根据题意结合球的定义和性质分析求解. 【详解】在空间中，集合表示以点A为球心，半径的球面， 记表示平面，可知， 所以S表示的曲线球A与平面所截得的圆周，设其圆心为，半径为， 可知，则， 所以S表示的曲线的长度为. 故选：B. 5.【答案】C 【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知曲线上各点与坐标原