安徽省芜湖市繁昌皖江中学2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题

高二下学期数学测试

一、单选题（每题5分，共40分）

1．设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ）

A．2024 B．2023 C．4048 D．4046

2．已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ）

A．50 B．40 C．30 D．25

3．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

4．若的展开式中的系数为，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最大值为（    ）

A．3 B．2 C． D．

6．如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（   ）

A．24 B．96 C．48 D．108

7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为，若，，则b的值可以是（    ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

8．设是自然对数的底数，则（   ）

A． B．

C． D．

二、多选题（每题6分，共18分）

9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是C上任意一点，则（    ）

A．的离心率为 B．的周长为12

C．的最小值为3 D．的最大值为16

10．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（　　）

A．若，，则

B．若，则

C．若，，则

D．若，则

11．法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法中正确的是（    ）

A．椭圆的蒙日圆方程为

B．过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为为直角时，直线的斜率为

C．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则

D．若为正方形，则的边长为

三、填空题（每题5分，共15分）

12．过直线上一点P向圆引两条切线，切点分别为M，N，则的最小值为      ；已知直线MN过定点Q，则点Q的坐标为      ．

13．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加

工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为          .

14．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，过分别作倾斜角为的直线，分别交双曲线的左、右两支于点（均在轴上方），过与的交点作倾斜角为的直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为      .

四、解答题

15（13分）．两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是和，每次扑点球相互独立，互不影响.

(1)甲扑点球两次，乙扑点球一次，记两人扑中次数的和为，试求随机变量的分布列及数学期望（用最简分数表示）；

(2)乙扑点球6次，其扑中次数为，试求的概率和随机变量的方差（用最简分数表示）.

16（15分）．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，

(1)求，的通项公式；

(2)记为的前项和，求证：；

(3)若，求数列的前项和．

17（15分）．如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点