7.5 正态分布 导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5 正态分布 主备人：董学旭 赵春艳 审核人：高二数学组 【学习目标】1.了解服从正态分布的随机变量；2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布去解决实际问题. 【学习重点与难点】正态分布的特征、均值、方差及其含义 【教学过程】 一、新知自学（自学课本，完成下列问题） 知识点一：正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)= ，则称随机变量X 服从正态分布，记为 . 特别地，当μ＝0，σ=1时，称随机变量X服从 标准正态分布，即X~N(0，1).　　 若X~N(μ，σ2)，则如上图所示，X取值不超过x的概率P(X ≤ x)为图中区域 的面积，而P(a≤X≤b)为区域 的面积. 知识点二：正态密度函数的性质 (1)对称性： (2)最值： (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近 知识点三：参数μ，σ的含义及对正态曲线的形状的影响 知识点四：正态分布的期望和方差 若X~N(μ，σ2 )，则E(X)= ，D(X)= 知识点五:正态分布的3σ原则 假设X~N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别的 ①P(μ－ σ ≤ X≤ μ＋σ)≈0.6827； ②P(μ－2σ ≤ X≤μ＋2σ)≈0.9545； ③P(μ－3σ ≤ X≤μ＋3σ)≈0.9973. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ ， μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 二、应用举例（组内交流、成果展示） 例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ . (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 例2 在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X～N(90，100). (1)求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率是多少? (2)若此次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人? 三、归纳小结（梳理课堂、归纳总结） 四、当堂练习（验收成果、查漏补缺） 1(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(　　) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 2．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　) A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 3.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 4.有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $$