7.5正态分布导学案-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5正态分布导学案 教学目标： 1.了解服从正态分布的随机变量；了解正态曲线和正态分布的概念，能借助正态曲线理解正态曲线的特点及曲线表示的意义 2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小，会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率 3.了解正态分布的均值、方差及其含义； 教学重难点： 重点：认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则. 难点：会求随机变量在特殊区间内的概率. 教学过程： 1、 自主探究 1. 连续型随机变量：随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量. 2. 正态密度函数和正态密度曲线： 定义：我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution)，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 3.正态分布的作用：在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.很多随机变量都服从或近似服从正态分布.例如,某些物理量的测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量；自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)；某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等. 4.正态曲线的特点： 由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点： （1）对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线与x轴之间的面积为1. （3）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）曲线在x＝μ处达到峰值(最高点). （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的 离散程度。 5.正态分布的期望和方差 6.3σ原则 定义：假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ) 是一个只与k有关的定值.特别地， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 意义：尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.（极小概率事件）通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 2、 尝试应用： 1.设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　) A.10与8　　　　　　　　 B.10与2 C.8与10 D.2与10 答案：B 2.下列函数是正态分布密度函数的是(　　) A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是实数 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:对照正态分布密度函数:f(x)=(x∈R),注意指数中的σ和系数的分母中的σ要一致,以及指数部分是一个负数. 答案:B 探究一、正态曲线 例1、（多选）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是（       ） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 答案：AC 解析：由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称. 所以，，，故A正确，C正确； 因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图像的最高点为，即， 故，故D错误. 跟踪训练：1.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝__________，方差σ2=__________. 答案：   20     2 解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是， 所以μ