专题13数列新定义问题（典型题型归类训练）-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题12 数列新定义问题（典型题型归类训练） 1．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，求的通项公式； (3)设排列满足，求， 2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； 3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列中，若存在常数，使得（）恒成立，则称数列为“数列”． (1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”； (2)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由； (3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值． 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若. (1)设的二阶差数列为，求的通项公式. (2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为 5．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 6．（2024·江西南昌·一模）对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列. (1)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和； (2)若是公差为2的等差数列，求. 7．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”． (1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由； (2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式． 8．（2015高二·全国·竞赛）设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3. (1)请写出数列1，4，7的伴随数列； (2)设，求数列的伴随数列的前之和； (3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和. 9．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）若有穷数列，是正整数），满足，即是正整数，且，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”. (1)已知数列是项数为7的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项； (2)对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前19项的和 10．（23-24高二下·江西·阶段练习）将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为． (1)若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式； (2)若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 数列新定义问题（典型题型归类训练） 1．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，求的通项公式； (3)设排列满足，求， 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. （2）由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. （3）因为， 所以， 所以， 所以. 2