专题12数列不等式（典型题型归类训练）-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题11 数列不等式（典型题型归类训练） 目录 一、典型题型 1 题型一：数列不等式恒成立 1 题型二：数列不等式能成立（有解）问题 4 二、专题11 数列不等式专项训练 6 一、典型题型 题型一：数列不等式恒成立 1．（23-24高二下·河南南阳·期中）记数列的前项和为，已知，且． (1)令，求数列的通项公式； (2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 2．（2024·广东韶关·二模）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 3．（23-24高二下·贵州贵阳·期中）已知数列满足：，且.设的前项和为，. (1)证明：是等差数列； (2)求； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且. (1)求证：为等差数列，并分别求的通项公式； (2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围. 5．（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若对任意的都有，求实数的取值范围. 6．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型二：数列不等式能成立（有解）问题 1．（2024·云南·一模）已知为等比数列，记分别为数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知正项数列的前n项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10；，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，若存在使得成立，求实数的最大值． 3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 4．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8． (1)求，的通项公式； (2)设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值． 5．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．数列的前项和为，数列的前项和为，数列，． (1)求数列的通项公式及； (2)若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围． 二、专题11 数列不等式专项训练 1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）设数列的前n项和为，已知，，，是数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)求满足的最大正整数n的值． 2．（2024·四川南充·二模）在数列中，是其前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，恒成立，求的取值范围． 3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知是等差数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意，求的最小整数值． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且关于x的方程，有两个相等的实数根． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，且对任意的恒成立，求实数的最大值． 6．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 7．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，对任意的，恒有，求的取值范围. 8．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）设各项都不为0的数列的前项积为，，. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中），组成新的数列，记数列的前项和为，若，求的最小值. 9．（2014高一·全国·竞赛）对于给定的，若，定义.已知数列满足，当时，，其中为数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)计算数列的前项和，是否存在，使得任意，都有？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 10．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且满足，，数列为正项等比数列，且依次成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，的前项和为，问是否存在正整数使得成立，若存在