专题11数列的极限（典型题型归类训练）-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题11 数列的极限（典型题型归类训练） 目录 一、典型题型 1 题型一：概率统计中数列的极限 1 题型二：分形中的极限问题 3 题型三：数列中其他极限问题 5 二、专题11 数列的极限（典型题型归类训练） 7 一、典型题型 题型一：概率统计中数列的极限 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求： (1)当时，甲赢得比赛的概率； (2)的数学期望. 2．（2023高三·全国·专题练习）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷次不连续出现三次下面向上的概率为， (1)求和； (2)写出的递推公式，并指出单调性； (3)是否存在？有何统计意义． 3．（2023·四川宜宾·模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误． (1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望； (2)设第次传球后，甲接到球的概率为， （i）试证明数列为等比数列； （ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数． 4．（2002·上海·高考真题）某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金． (1)设为第k位职工所得奖金额，试求，并用和表示（不必证明）； (2)证明，并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3)发展基金与n和b有关，记为，对常数b，当n变化时，求． 题型二：分形中的极限问题 1．（2024高三·全国·专题练习）图中的树形图形为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层．设树的第n层的最高点至水平线的距离为n层的树形的高度．试求：    (1)第三层及第四层的树形图的高度 (2)第n层的树形图的高度 (3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”否则则称“矮小”．试判断该树形图是“高大”还是“矮小”的？ 2．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间这一段，如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线．将下面的图形依次记作    (1)求的周长； (2)求所围成的面积； (3)当时，计算周长和面积的极限，说明科克雪花曲线所围成的图形是“边长”无限增大而面积却有极限的图形． 3．（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、. (1)设第次被剪去等边三角形面积为，求； (2)设的面积为，求. 4．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，是一块直径为2的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形，，…，，…，记纸板的面积和周长分别为、，求： （1）； （2）. 题型三：数列中其他极限问题 1．（2024高三·全国·专题练习）著名的斐波那契数列满足，，证明. 2．（2024高三·全国·专题练习）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出） 2 3，5 4，6，6，8 5，7，7，9，7，9，9，11 …………………………………… 若第行所有的项的和为． (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求和的值． 3．已知数列，其中．记数列的前n项和为，数列的前n项和为． (1)求； (2)设（其中为的导函数），计算． 4．（23-24高二上·上海·期中）已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的值； (3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通