专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题10 数列求和（插入新数列混合求和） (典型题型归类训练) 目录 一、典型题型 1 题型一：插入新数列构成等差 1 题型二：插入新数列构成等比 4 题型三：插入新数混合 5 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 7 一、典型题型 题型一：插入新数列构成等差 1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． (3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围． 2．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求． 3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中. (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由. 4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 5．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和． 题型二：插入新数列构成等比 1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足： (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由. 4．（2023·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和. 题型三：插入新数混合 1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数． 2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有 ，且 . (1)求数列的通项公式； (2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和. 3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和． 4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和. 二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求． 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求． 4．（2024高