专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：等差型 2 题型二：无理型 4 题型三：指数型 5 题型四：通项裂项为“”型 7 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 8 一、必备秘籍 常见的裂项技巧 类型一：等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 类型二：无理型 ① 如： 类型三：指数型 ① 如： 类型四：通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 二、典型题型 题型一：等差型 1．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列； (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，． (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）设数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)若数列的前项和为，证明：. 题型二：无理型 1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）设数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，求； (3)证明：． 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式及； (2)设______，求数列的前n项和． 在①；②；③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（23-24高二下·云南·开学考试）在等差数列中，，是和的等比中项． (1)求的公差； (2)若数列的前项和为，且，求. 4．（23-24高三上·山西阳泉·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型三：指数型 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知首项为1的数列满足． (1)求的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 2．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，数列的前项和为，若对任意的正整数，不等式都成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 4．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设数列的前项和为，为等比数列，且，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式： (2)设，数列的前项和为，证明：． 5．（2024·河南南阳·一模）已知数列，若. (1)求证：数列是等比数列; (2)若数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围. 题型四：通项裂项为“”型 1．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：是单调递减数列． (2)求数列的前项和． 2．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知在数列中，． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在数列中，，且分别是等差数列的第1，3项. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求的前n项和. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)已知数列，求数列的前项和． 5．（2024·云南昭通·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 1．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 2．（23-24高二下·云南·阶段练习）已知数列中，为的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 3．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足． (1)计算，并求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 4．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知数列满足 (1)求证: 为等比数列； (2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和. 5．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：. 6．（2024·浙江·二模）已知等差数列的前n项和为，且. (1)求； (2)求数列的前n项和. 7．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.