专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2025年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 1 题型一：倒序相加法 1 题型二：通项为型求和 3 题型三：通项为型求和 5 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 7 一、必备秘籍 1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 2、分组求和法 2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 二、典型题型 题型一：倒序相加法 1．（2023高一·全国·竞赛）已知，其中是上的奇函数，则数列的通项公式为（    ）． A． B． C． D． 2．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（    ）． A．2012 B． C．2013 D． 3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为 . 5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 题型二：通项为型求和 1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n． 2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和． 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若. (1)设的二阶差数列为，求的通项公式. (2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为 4．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前n项和为，求满足的最大整数n． 5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值． 6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列为等差数列，且． (1)求； (2)若，数列的前项和为，证明：． 题型三：通项为型求和 1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列中，，点在抛物线，数列中，点在经过点，斜率的直线l上. (1)求数列，的通项公式； (2)若，若表示的前n项和，求； (3)若，问是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知为等差数列的前项和，． (1)求的通项公式; (2)若数列满足，求的前2n项和． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列数列的前项和为，求． 6．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ． 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：